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使得幂GCD矩阵$(S^e)$ 整除幂LCM矩阵$[S^e]$的四元gcd封闭集$S$的
引用本文:赵建容. 使得幂GCD矩阵$(S^e)$ 整除幂LCM矩阵$[S^e]$的四元gcd封闭集$S$的[J]. 四川大学学报(自然科学版), 2008, 45(3)
作者姓名:赵建容
作者单位:四川大学数学学院
基金项目:国家基础研究重大项目基金
摘    要:洪绍方在 2002 年证明了如下结果: 若 $S$ 为 gcd 封闭集且 $|S| leq 3$, 则在 $|S|$ 阶整数矩阵环 $M_{|S|}(mathbf{Z})$ 中,GCD 矩阵 $(S)$ 整除 LCM 矩阵 $[S]$. 设 $egeq 1$ 为给定的整数. 在本文中,我们给出了关于四元 gcd 封闭集 $S$ 的充分必 要条件,使得在环 $M_4(mathbf{Z})$ 中, 定义在 $S$ 上的 $e$ 次幂 GCD 矩阵 $(S^e)$ 整除 $e$ 次幂 LCM 矩阵 $[S^e]$. 这部分解决了洪绍方在 2002 年提出的一个公开问题.

关 键 词:幂GCD矩阵  幂LCM矩阵  gcd封闭集  整除性
收稿时间:2007-08-22
修稿时间:2007-09-14

A CHARACTERIZATION FOR THE GCD-CLOSED SET S WITH |S| = 4 SUCH THAT (S^e) DIVIDES [S^ee]
Zhao Jian-Rong. A CHARACTERIZATION FOR THE GCD-CLOSED SET S WITH |S| = 4 SUCH THAT (S^e) DIVIDES [S^ee][J]. Journal of Sichuan University (Natural Science Edition), 2008, 45(3)
Authors:Zhao Jian-Rong
Abstract:In 2002, Hong showed that for any gcd-closed set $S$ with $|S|le 3$, the GCD matrix $(S)$ on $S$ divides the LCM matrix $[S]$ on $S$ in the ring$M_{|S|}(mathbf{Z})$ of $|S|times |S|$ matrices over the integers. Let $egeq 1$ be an arbitrary given integer. In this paper, we give necessary and sufficient conditions on the gcd-closed set $S$ with $|S|=4$ such that the power GCD matrix $(S^e)$ on $S$ divides the power LCM matrix $[S^e]$ on $S$ in the ring $M_4(mathbf{Z})$. This solves partially an open question raised by Hong in 2002.
Keywords:power GCD matrix   power LCM matrix   Gcd-closed set   Divisibility.
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