3N+1猜想与3N+3k猜想的等价性及相关性质

将数论中3N＋1猜想推广为3N＋3^k猜想．得到了3N＋1猜想与3N＋3^k猜想的等价性．得到有关3N＋3猜想的一些性质．3N＋1猜想的推广、3N＋3猜想的一些性质的建立对于研究4K＋3型奇数在3N＋3猜想压缩迭代中起到简化作用，同时也为3N＋1猜想的研究提供了新思路．     

关于Evans问题的若干研究结论

给出了判识Evans问题有解的某个充分必要条件，构造性地指出了Evans问题的一族具体解，直观地论证了Evans问题解的存在性和解的无限性。     

3N+1猜想的超级压缩迭代性质

在3N＋1猜想的研究中，运用去偶算子提出了超级压缩迭代概念，建立了超级压缩迭代轨迹序列，与原有的压缩迭代相比大大提高了迭代速度；提出了筛数概念并在此基础上得出了压缩迭代与超级压缩迭代之间的周期（或称圈长）关系，从而得到在超级压缩迭代下一个奇数y的一阶先驱数中4k＋3型的奇数不是惟一的结果；给出了超级压缩迭代下的周期数存在的一个必要条件．这些性质与定理的建立对于研究世界著名数论难题3N＋1猜想起到简化作用，同时也为3N＋1猜想的继续研究提供了新思路．     

3N+1猜想中同汇性研究和超级压缩迭代

给出了关于3N 1猜想中的同汇概念,建立了相关的几个定义及定理,这些定理的建立在对研究奇数2a 1(a∈Nd)的压缩迭代时可以转化为研究奇数a的首席叙拉古阶,从而在研究这一类奇数的压缩迭代时起到简化作用．另外对3a(a∈Nd)型奇数,构造出与3a同汇的无穷数列．并给出超级压缩迭代概念及超级压缩迭代下的x的项公式。     

3N+1猜想中周期数的研究

给出了关于3N 1猜想中周期数存在的一个必要条件：S^l(mxi)=nxi,并在此基础上推广为S^l(σbxi=n^b 1xi,且给出周期数x1的具体表达式x1=r1／(1-3^l／2^k)。证明了圈长为2和3的周期数不存在。     

3N+1猜想中周期数存在的必要条件

给出了3N＋1猜想中周期为l的周期数的概念、数论函数potpn的定义以及二进制中的横和数的定义：A（xi,2）,高斯函数[x];同时给出了数论函数potpn的性质和potpm!的计算公式,利用数论函数potpn提出了3N＋1猜想中周期数存在的一个必要条件,为进一步研究3N＋1猜想中周期问题提供参考.     

3N+1猜想的压缩迭代及ta(n)与 tc(n)的关系

提出了3N 1猜想的压缩迭代，给出了该迭代下的某些结果，这些结果是：关于3N 1猜想的3个等价命题；叙拉古阶序列；n的项公式及证明；关于系数停止次数tc(n)与足够停止次数ta(n)相等的两个定理，3N 1猜想的压缩迭代的提出对该问题进一步研究将发挥重要作用。