数列求和的思想与方法

求两个数、三个数之和,很易计算出来。如果把几十个,甚至几百个几千个数加起来,就不是那么简单了。当然,如果不嫌麻烦的话,逐个逐个地相加,最后总是能把它的和求出来。多个数相加是否有简便的计算公式呢?人们在这方面已经进行了很多研究,得到了不少的结果,总结出很多类型数列求和公式,根据这些公式很易把前n项数列之和计算出来。当然,寻求前n项数列求和公式,不仅是为了简化计算,它也往往是求无穷级数之和的一个桥梁。另外在解决其他数学问题时,也常常需要求数列前n项之和的解析表达式。对于某些有规律的数列,我们很易总结出它的前n项求和公式。对于有些表面看来无法总结出求和公式的数列,但经过整理、变形,也能把它的公式推导出来。那么对于一些基本     

试验、观察、假设、证明

我们在学习数学过程中,不仅要掌握前人研究的结果,记住一些概念、公式、公理、定理,更重要的是要掌握获得成果所用的方法。本文的目的就是通过具体例子来阐述数学中的一种思考问题的方法:试验——观察——假设——证明。例1 求数列: 1,3,5,7,9,11,…… (1)前n项之和。试验我们先计算出这个数列的前一项、前二项、前三项……的和: S_1=1;S_2=1+3=4;S_3=1+3+5=9; S_4=1+3+5+7=16;S_5=1+3+5+7+9=25。上面的式子中S表示和,它的下标等于对应于数列(1)的各项被加数的个数。     

变换及其应用

利用变换的方法解决数学问题是数学中常用的方法之一。本文以几个简单的例题,谈谈这个方法的一些应用。什么是变换?我们先从一些具体的变换谈起,然后再给出一般概念。如,我们将一个图形按一定比例放大或缩小得到一个新图形,这样由原图形得到一个与原图形相似的新图形是一个变换,这个变换叫做相似变换。又如,我们将一个图形从一个位置搬动到另一个位置上,这种搬动也是一个变换,这种变换称为运动变换。再如,一个图形经太阳光线的平行投