欧拉应用分析于数论研究综述

扼要而又系统地综述了欧拉应用分析于数论研究的早期工作.其中有许多激动人心的数论公式与定理.例如,关于自然数方幂倒数的无穷和公式、关于Zeta函数的欧拉乘积公式、欧拉对4平方数定理的思考与证明,及其欧拉在解决这些问题的同时所创造的有关数论函数、分拆函数和理想数的概念等等.这些概念、定理或公式都是欧拉首先发现并加以精确论证的.与众不同的是,他善于把一个纯数论问题变换为一个分析问题,事实上欧拉的想法更具一般性.它足以展示欧拉的数学工作的深刻与广博.最后我们引述了欧拉发现的数论中几个著名的级数公式和二次互反性定律,它们都是欧拉在数论文库中留给我们的宝贵遗产.     

关于一类自反级数变换的充要条件

最近作者曾利用自反函数的性质,研究了较广的一类自反级数变换与相应的自反积分变换的一般构造方法.今应用该文中定理1与定理3的证明方法,进一步证得有穷自反级数变换     

评N.Rashevsky的一篇著作

在美国支加哥大学出版的Bulletin of Mathematical Biophysics,17(1955年),No.1,第45-50页上,载有Rashevsky的一篇文章,题名是Note on a Combina-torial Problem in Topological Biology.作者的整个文章是用来证明一个简单而熟知的组合问题的解答公式;作者显然忽视了他所论证的公式,不过是G.Chrystal代数学下卷(1900年版)上的一个例题而已.该文考虑的问题是:欲将n个相異的事物分配成m个组,使得每组至少含一物,问有多少种方法数?这问题的解法是容易的,先将事物编号为1,2,…,n,并暂时假定m个组亦编号为1′,2′…,m′.由于每一事物都可以被分配在任意一组,共方法数为m,故     

关于双边的Young不等式和一个逆定理

本文将经典的W.H.Young单边不等式扩充成为双边不等式,并证明了一条类似Takahashi的逆定理。文末举了几个简单例子,以说明双边不等式的应用。     

关于Hilbert不等式的一个改进(英文)

证明了重组数的经典Hilbert重不等式通过引入一个适当的形如π－θ／（θ＞0）的权函数可以把两个单独的和都得到改进。借助于Euler—Maclaurin求和公式得到了一个非常强的结果。     

N-P基本引理的严密化、标准化研究——兼评国内某些教材对此定理的引述与证明

我国目前所引述的Neyman-Pearson基本引理(下简称N-P引理),可谓是五花八门、应有尽有.就其证明的严密性而言,要么只给出了一致最大功效检验(下简记UMPT)函数的非随机化检验形式,要么仅局限于其充分性的证明.文章从N-P引理的本质特征出发,把φ的随机化检验形式,和引理的充要条件的证明统一在一起,因而形式更为完美,证明更加严谨,并且还给出了它直观的图像表示和扩大了检验函数的集类φ.     

两类级数变换的反演公式

级数变换是离散数学中的一个计算工具。这工具对组合分析、级数求和以及群、格、线性图形等计算问题都有若干应用。通常利用级数变换去解决问题时,往往是通过变换的反演关系来实现的,因此,反演公式的理论是级数变换论的重要部分。 本文将扼要地概述作者过去十年间在这一专题方面所得到的某些结果。在文章第一节里给出了“互反μ函数”的概念,从而扩充了Mbius-Rota反演理论,得到了一类     

重积分近似计算的一个新方法(Ⅱ)

这是同一个题目的论文(Ⅰ)〔载自然科学学报,1956年第一期51-65页)的一个继续.在现在的这个工作中,我们要在更一般的情况之下,来研究我们的近似过程的收敛速度.首先是讨论一般有界平面区域上的重积分的近似程序问题;其次是应用C.M.(1940)的一些结果,将我们先前已获得的结果推广到更一般的情形.最后,我们还要研究多重积分的近似计算的问题;而对三重积分的机械求积,将给以更多的注意.通常的机械求积公式具有如下的形式:     

重积分近似计算的一个新方法Ⅰ

§1.引言在这一个工作中,我们要研究下列形式的重积分的近似计算的问题,其中f(x,y)和g(r,θ)都是连续函数,(r,θ)的表示极座标,S是一个圆形区域:0≤r≤R, 0≤θ≤2π.本论文的目的,是在于提供一个和一般典型方法不相同的近似计算的新方法.这个方法对于连续函数的重积分的近似计算来说,是既普遍地适用而又有较好的效率.就我们的方法的实质来说,可以叫做“曲线积分近似法”.因为这种近似方法     

多元Jensen不等式及其应用

简明扼要地给出了多元凸函数的最一般概念,简化了Jensen加权不等式及Jensen积分不等式的证明,定理的证明方法采取了由特殊到一般的归纳证法,导出了某些特殊不等式作为其应用.