RP~2嵌入非正定四维流形的法Euler示性数

设N是不可定向闭曲面,M是单连通四维流形,是一个嵌入,法丛为v_f,则法Euler类e(v_f)是上同调群H~2(N,Z)中的元,这里Z是由W_1(v_f)=W_1(N)所决定的局部整系数。嵌入f的法Euler示性数X(f)=e(v-)[N]的取值是有关四维流形的研究中一个重要问题,它与一个二维同调类能否用光滑嵌入球表示等问题有极密切的关系。本文讨论了实投影平面嵌入非正(负)定四维流形中的法Euler数的取值问题。     

CP~2＃■中的光滑2-纽结

本文对CP~2＃CP~2中具有单连通补的2-纽结给出了一个完整的分类.首先简单回顾了S~2上的球丛的知识,并解释了我们以后要用的符号,然后是主要引理和定理的叙述及证明.1 S~2上的球丛在这一节中,我们对S~2上的S~2-球丛做一个简单回顾.详细内容参见文[1]献和[2].S~2上的SO(3)丛的等价类1-1对应于π_1(SO(3))=Z_2.因此S~2上只有唯一的非平凡S~2-球丛,记为T.记P为平凡球丛S~2×S~2.因为π_1(SO(2))=Z,故对应于每个整数,都有一个S~2上的SO(2)-     

非单连通四维流形的二维子流形

四维流形的微分拓扑中的一个基本问题是找一个具有最小亏格的曲面来表示一个给定的二维同调类.Hsiang,Rohlin等人分别对同调1-连通流形考虑了该问题.在本文中我们就H_1(M~4)是有限群的情况研究这个问题.另外,在这个条件下对不可定向曲面嵌入四维流形的法Euler数取值也作出了讨论.     

ON NORMAL EULER NUMBERS OF EMBEDDING SURFACES INTO 4-MANIFOLDS

Let N be a closed,orientable 4-manifold satisfying H_1(N,Z)=0,and M be a closed,connected,nonorientable surface embedded in N with normal bundle v.The Euler class e(v)ofv is an element of H_2(M,(?)),where (?) denotes the twisted integer coefficients determined byw_1(v)=w_1(M).We study the possible values of e(v)[M],and prove H_1(N-M)=Z_2 or 0.Underthe condition of H_1(N-M,Z)=Z_2,we conclude that e(v)[M]can only take the followingvalues:2σ(N)-2(n+β_2),2σ(N)-2(n+β_2-2),2σ(N)-2(n+β_2-4),…,2σ(N)+2(n+β_2),where σ(N) is the usual index of N,n the nonorientable genus of M and β_2 the 2nd real Bettinumber.Finally,we show that these values can be actually attained by appropriate embeddingfor N=homological sphere.In the case of N=S~4.this is just the well-known Whitney conjectureproved by W.S.Massey in 1969.     

广义Hopf不变量

把经典Hopf不变量和映射度的的概念推广到有限CW复形,给出广义Hopf不变量的一些性质和例子.