贝塞尔函数的若干结果

本文定义一种推广的贝塞尔函数J_v(vx,ω)=1/πintegral from n=0 to ω(e~(-v F(θ,x))dθ(0<ω≤π,v>0,00,b>0,0<σ=a/b≤1/10,b→0+时,得出无穷积分I=integral from n=0 to ∞(e~(ax)k_0(b (x~2+1)~(1/2))xdx的估计为e~(-b)/b~2{(1+π/2σ+2σ~2+…)-b[(π/2-1)+(2-π/2)σ+(3/4π-2)σ~2+…]} ≤I≤2/b~2(1+π/2 σ+2σ~2+…)这里K_0(x)=integral from n=0 to ∞(e~(-xt)/(t~2-1)~(1/2)dt)为贝塞尔函数。     

切比晓夫级数的积分定理

设f(x)=sum form n=0 to ∞ C_nT_n(x),这里的T_n (x)为切比晓夫多项式。令I(ω)=integral from n=o to 1 dx在本文中证明了下述两定理:     

牛曼级数

1.引言.在本文中我们打算用平曼极沪的万凡J。(:)(1)剩心替慕极教研究解析两数.令a。}二2,‘幕极教 口 刃bn么n称为(i)的迪带极教.这雨极教有相同收徽!图,其和顺次用￡(:)与功(:)表之.雨函教巾有一为整函敏,助另一亦必为整函教. .二~、,,‘:②,,,_、**。。,‘;。‘,‘。怜二。,,二~“,~‘.田艺咫.锐民口,r日声习兰丫巴·口人l、乙夕于丈<,,川又1万厅佗全I不!妥比J失价丫矛勺f.,只IJr足够7丈口守M(r)<。k广(2〕这里M(r)=功口太1 21r!“·’召>P-k为正常教.当p>待,意正嫩大于‘ 令C表圆l:!“r.若f(:)的型亦为有限教,.lllJ可在(2)巾置产二p…     

多项式项级数的积分定理

在本文中给出两种方法来求:当n→∞时, J_n(ω)=integral from n=-1 to 1 ρ(x)((u_n(1)-u_n(x))/(1-x)~ω)dx的渐近表达式,这里u_n(x)为n次多项式,ρ(x)为适当选取的函数在开区间(-1,1)中连续并取正值,ω为适当的正实数。第一种方法利用多项式u_n(x)具有特殊形式的循环公式。第二种方法是:当u_n(x)具有洛巨里格表达式且ω的取值在适当的区间中时,可以求出(?)_n(ω)=integral from n=-1 to1 ρ(x)((u_n(x))/(1-x)~ω)dx,于是利用解析延拓法,当ω的取值在更大的区间中时,可以求出J_n(ω)。利用第二种方法证明了下述定理: 设α≥-1/2且α≥β>-1。令f(x)=sum from n=0 to ∞c_nP_n~((α,β))(x),这里P_n~((α,β))(x)表示雅谷比多项式,如果c_n终规为正,且sum from n=0 to ∞c_nP_n~((α,β))(1)=0, 则按照λ=1或1<λ<2,integral from n=0 to 1 ((f(x)/(1-x)~λ))dx存在的充要条件分别是Σc_nn~αlogn收敛或Σc_nn~(α 2(λ-1))收敛。利用本定理即可推出:作者在函数项级数的积分一文中所证明的关于勒襄特级数及切比晓夫级数的两定理。     

勒襄特级数

引言,研究解析函数常用的工具为慕极教 sum(a_nz~n) from n=0 to∞现在我们打算用勒襄特极教sum (a_np_n(z)) from n=0 to∞来代替幕极数作为研究解析函数的工具.首先考察极教(1)的收敛域,为此在z面作椭圆E Z=cosh(α+iβ),这里α是固定正常数, E的参数方程是     

双线性变换的不变圆

一九五四年二月德拉琴证明了下述定理: 双线性变换 w=(az+b)/(cz+d) (1)有不变圆的必要与充分条件为 ad-bc(?)0及(a+d)~z/(ad-bc)为实数。此外,若这些条件均满足,则有无穷个不变圆,组成共轴组:当a+d=0时,尚须加上其正交组。至於 w=z则为例外情形。这定理中的圆系指圆,其半径为有限数且不为零(称为真圆)或直线而言。德拉琴证明的方法是将z面及w面坐标的原点,分度,方向予以变换,化(1)为典型式     

用狄立赫利级数所定义的整函数的阶与型

(1 .1》(1 .2)、一了8公咧 一我俩知道赏般数 名an n二1收歇峙,剧狄立赫利扭数① f(s)‘f(6+it)二的收歇横镖焉6。一lniz109!R、!logn(1 .3)组裹 凡二、+;+%+:十。n*,+·… 若60-一二·具吐f(“)表整函数.但枪势收粼横镖6典收粼横标气满足不等式 6基60+1;因此赏60二一二峙,6=一‘,即在8面中(1 .2乡的右端撅数不谨虚虑收狱,且禽雇枪蜜步收狱. 最近拉焉曾研失整面数f(6)的黎特陪舆其推魔狄立赫利粗数的表示拯大项之简的朋保②.毅叙敷(1 .1)焉正项极数;此峙 Rn亘O, 器1957年5月23日收到100由束大翠鬃一辍1957年IR。1=R。.作者在本文中将用凡…     

贝塞尔多項式的一个積分表示

1.自从1949年克拉尔与弗里克等对贝塞尔多项式进行了系统讨论以后,论证者颇多,最近阿尔萨兰曾予以系统的总结,并得出许多较新结果。按照阿尔萨兰符记将用Y_n~((α))(x)=2F_0(-n,n+α+1;-x/2)(n=0,1,2,…)(1.1)表贝塞尔多项式,其所满足的微分方程为     

勒襄特级数的一个性质

设μ为正常数。令■这里,当n→∞时,■则勒襄特级数sum from n=0 to ∞a_nP_n(z)=a_0 a_1P_1(z) … a_nP_n(z) …以E_μ为其收歛椭圆。在E_μ内令这个级数的和为f(z),并用f(z)表示从它所产生的完全解析函数。如果f(z)在E_μ上—点z_0处解析,则sum from n=0 to ∞a_nP_n(z)在点z_0处收歛。从此即可推出:如果sum from n=0 to ∞a_nP_n(z)在E_μ上一点z_0处发散,则点z_0必为f(z)的奇点。     

勒襄特级数的空隙定理

设(n_k)为非负整数的子序列满足下述条件者: n_(k+1)≥(1+?)n_k,?为固定正数(k=l,2,…).如果勒襄特级数f(z)=sum from n=0 to ∞α_nP_n(z)以(2x/e+e~(-))~2+(2y/e-e~(-1))~2=1为其收敛椭圆,且它的系数除去an_k(k=1,2,…)不为零外,其余均为零,则收敛椭圆就是f(z)的自然边界。