次梯度法在求解非光滑最优化问题时的计算效果研究

本文研究了次梯度法的一些重要问题。次梯度法是梯度法在非光滑优化中的直接推广。在每一步的迭代中,选取一个负次梯度方向为搜索方向,并以一定的规则设置搜索步长。次梯度法的每一步迭代不一定都下降,但是可以证明,对于非光滑凸优化问题,次梯度法能够保证全局收敛性。次梯度法的搜索步长是预先设置的,步长设置准则包括常值步长准则、有限平方和步长准则和已知全局极小值的步长准则。本文对各种步长准则的收敛性进行了证明。为了验证次梯度法在不同的步长准则下的计算效果,本文应用次梯度法对一系列非光滑最优化问题进行了计算实验,并分析了他们的计算结果。数值实验结果表明,常值步长准则收敛速度慢,精度不高,而且步长的选择困难。而有限平方和步长准则收敛速度更快,也能够达到更高的精度。至于已知全局极小值的步长准则,虽然精度也较高,但是因为需要事先已知凸优化问题的全局极小值,所以这种步长准则的应用范围有限。     

次梯度法在求解非光滑最优化问题时的计算效果研究 (运筹学与控制论)

本文研究了次梯度法的一些重要问题。次梯度法是梯度法在非光滑优化中的直接推广。在每一步的迭代中,选取一个负次梯度方向为搜索方向,并以一定的规则设置搜索步长。次梯度法的每一步迭代不一定都下降,但是可以证明,对于非光滑凸优化问题,次梯度法能够保证全局收敛性。次梯度法的搜索步长是预先设置的,步长设置准则包括常值步长准则、有限平方和步长准则和已知全局极小值的步长准则。本文对各种步长准则的收敛性进行了证明。为了验证次梯度法在不同的步长准则下的计算效果,本文应用次梯度法对一系列非光滑最优化问题进行了计算实验,并分析了他们的计算结果。数值实验结果表明,常值步长准则收敛速度慢,精度不高,而且步长的选择困难。而有限平方和步长准则收敛速度更快,也能够达到更高的精度。至于已知全局极小值的步长准则,虽然精度也较高,但是因为需要事先已知凸优化问题的全局极小值,所以这种步长准则的应用范围有限。
     

k-正则函数及其Riemann-Hilbert边值问题

讨论了k-正则函数的一些性质,给出了唯一性定理及k-正则函数的第一、二表示式,此时还讨论了k-正则函数的Riemann-Hilbert边值问题,得出其可解性定理.     

Clifford分析中的k正则函数的性质及Riemann边值问题

讨论了C lifford分析中的k正则函数的若干函数论性质,同时也得到了k正则函数的某些R iem ann边值问题解的具体表示式.     

四元数分析中Tf算子在全空间Q上的H(o)lder连续性

考虑了四元数分析中的Lp,v（Q）函数空间中非齐次Dirac方程T算子及其一些性质,并证明了四元数分析中Tf算子在全空间Q上的Hoelder连续性,还讨论了TQf在无穷远附近与｜z｜^-2-α是同阶无穷小.     

基于填充函数方法的OD矩阵估计

对现有关于求解OD矩阵估计的最小二乘模型所采用的逐次迭代算法的不足进行了分析,并引进了一种全局最优化算法即填充函数方法来找寻该模型的全局最优解。数值试验表明：所提出的填充函数算法有能力找到问题的全局最优解,且与初始值的选取无关,也有潜力解决较复杂网络的OD矩阵估计。通过数值结果发现,模型的权值选取对数值结果有明显影响。为此,引进了一种确定权值的评价指标RMSE,它能反映估计量与真实值之间的接近程度。利用该指标,可以选取较合适的权值。     

一类非凸-强凹极小极大问题的零阶优化算法

极小极大问题是博弈论和机器学习中的一类重要问题。目前已有大量基于目标函数的梯度和Hessian阵信息的优化算法来求解这类问题。但在有些应用中,目标函数的梯度或Hessian阵信息往往是计算昂贵或难以获取的。为此,针对一类非凸-强凹极小极大问题,在极小极大三次正则化牛顿算法的框架下,通过基于Stein恒等式的高斯平滑化方法来近似梯度与Hessian阵信息,进而提出一类零阶极小极大三次正则化牛顿算法。分析算法的收敛性,并得到算法达到一个二阶平稳点时的迭代复杂度为O（ε-3/2）,其中ε是算法终止所达到的精度。数值仿真实验结果表明：在相同的精度下,所提出的算法在CPU运行时间上优于极小极大三次正则化牛顿算法。     

Clifford分析中的κ正则函数的性质及Riemann边值问题

讨论了Clifford 分析中的κ正则函数的若干函数论性质,同时也得到了κ正则函数的某些Riemann边值问题的具体表示式.     

基于填充函数方法的OD矩阵估计

对现有关于求解OD矩阵估计的最小二乘模型所采用的逐次迭代算法的不足进行了分析,并引进了一种全局最优化算法即填充函数方法来找寻该模型的全局最优解。数值试验表明:所提出的填充函数算法有能力找到问题的全局最优解,且与初始值的选取无关,也有潜力解决较复杂网络的OD矩阵估计。通过数值结果发现,模型的权值选取对数值结果有明显影响。为此,引进了一种确定权值的评价指标RMSE,它能反映估计量与真实值之间的接近程度。利用该指标,可以选取较合适的权值。
     

实施《数学分析》课程研究性教学改革的构想

研究性教学以培养学生的创新精神和创新能力为目的,强调学生在教学中的主体性和参与性.要改变当前《数学分析》课程教学现状,有必要实施研究性教学改革.探讨了转变师生角色、改变教学方法、更新教学手段等教学改革构想,以及实施研究性教学改革取得的初步成效.