作为数学革命的形式化证明

随着计算机科学的兴起,数学家可以通过计算机完成对数学定理的证明与验证,由此形成了形式化证明的相关领域。在形式化证明的助力下,诸多数学难题得以攻破,这无疑改变了传统数学实践的范式。然而,学界对于形式化证明所引发的认识论转向的论述尚不充分,究其原因主要有两个方面：其一是缺乏对形式化证明的本体论考察,其二是对数学革命的定义存在分歧。对形式化证明中人脑证明和机器证明进行区分,同时厘清两种不同的革命定义,可以为形式化证明作为数学革命的观点提供辩护。     

算法、图灵机、哥德尔定理与知识的不确定性

知识论一直是在寻求对知识的确定性作一般算法式的逻辑证明的辩护。然而，即使在处理抽象的数量概念的数学基础研究中，也不能达到最终逻辑证明的确定性。图灵对停机问题的算法步骤的否定回答、哥德尔定理对真理的“不可证明性”的确立，使我们不得不面对知识中逻辑证明背后不确定性的东西。     

论胡塞尔对意义的图像论的批驳

胡塞尔在《逻辑研究》中对意义的图像论进行了尖锐的批驳。这也是对逻辑的心理主义批判的继续，他的批驳与他本人和他所处的时代的数学背景有关。他的目的，一方面是为数学和逻辑的客观性作辩护，另一方面是为建立一种纯形式的理想的逻辑体系奠定概念上的和方法论上的基础。     

从民族文化传统看我国古算机械化的价值取向：兼对“西方中心论”的批驳

民族文化传统往往规定了数学发展的必然取向和构造模式。在古今数学数千年的历史发展中，形成不同时期不同地域的中西数学的两种倾向；逻辑演绎倾向和机械化算法倾向；其作用与构造差异主要是由文化系统赋予的文化层次及其价值取向的差异造成的，都是历史文化中的必然。     

黎曼猜想什么时候会被证明出来?

首先从对数学猜想证明的理解得出了影响证明数学猜想的两个重要因素,即数学猜想的证明依赖于必要的数学进展和合适的数学家;接着对这两个因素进行分析;由于对黎曼猜想的证明来说,无论是所需要的数学知识和方法是否具备还是是否有合适的数学家二者都是不确定的,因而无法肯定该猜想什么时候才能被证明出来。     

无穷小量的命运及对数学发展动力的思考

近代力学的需要催生了无穷小量.历史上的数学家对无穷小量作了各种解读,试图论证它存在的合法性,以使微积分严密化,都没有成功.在19世纪末的数学公理化运动中,极限取代了无穷小量成为微积分的基础.无穷小量的曲折历史使人们认识到:数学有效性并不必须由其真理性来保证,数学家的信仰是数学发展的精神动力.近代数学家经历了从信仰上帝到信仰自然再到信仰数学内部的逻辑美的过程,数学家的任务也经历了从解决上帝、自然和数学三者之间的矛盾到解决自然和数学两者之间的矛盾,再到解决数学内部的矛盾过程.哥德尔不完备性定理抽走了数学家的逻辑美信仰,数学界出现了信仰危机.     

论达米特反实在论思想的基础

达米特通过对直觉主义数学和逻辑方法的重新改造和推进,发展出一套相对完善的辩护主义意义理论,本文正是由此详细分析和论证了其反实在论思想的形成基础,并指出达米特反实在论策略所存在的一些问题。     

第二次数学危机的实质是方法论的变革

数学的主要研究对象是“数”和“形”，与“数”的研究领域所对应的方法主要是运算方法，与“形”的研究领域所对应的方法主要是逻辑证明的方法，两种方法的结果都是确定无疑的。微积分的出现产生了一种新的方法，即分析方法，分析方法是“算”和“证”的结合，是通过无穷趋近而确定某一结果。古代数学中就发现了这一方法，牛顿和莱布尼兹创立微积分实际上是将这一方法程序化和运算化，这导致了对分析方法的误解，从运算方法的原则去指责分析方法的程序过程，这就是第二次数学危机的实质。戴德金使分析算术化，通过对实数的分划奠定分析方法的基础，指明了通过无穷趋近确定某一常数的确切性和惟一性，开始为分析注入严密性。     

力学原理的真理性反思——以虚功原理为例

在虚功原理的具体语境中,关于数学证明是否可能的探讨引出了力学原理的真理性地位问题。把虚功原理的发展历史看作是概念的明晰化过程,拉格朗日正是利用前人的基本概念进行了还原模型证明。但是,证明过程中仍然出现了无限小位移、平衡等模糊概念,引起普安索、雅可比等众多科学家的批判。不同的是,普安索主张采用回避模糊概念、退回纯几何问题的方法获得证明,而雅可比认为力学原理只是假定与自然一致的约定,不可能存在严格的数学证明。最后进一步深化雅可比的约定思想,无法证明的力学原理既不是必然真理,也不是偶然真理,而是一种协调真理。     

归纳推理合理性的心理学辩护

归纳推理在哲学、科学、心理学以及日常生活中都具有重要作用。我们通过归纳推理将知识组织成有用的结构。休谟首先对归纳推理的合理性提出质疑,后来的学者对归纳推理合理性的逻辑辩护都失败了,其根本原因在于数学逻辑不适于描述归纳推理。归纳推理实质上是心理事件而不是数学事件,它所依赖的生活事件集合与数学集合具有完全不同的结构。从心理归纳的角度讲,归纳推理发生在人、知识、情境的三维空间中,其目的是适应性。从适应性的角度,心理归纳的合理性能够得到充要的证明。