如何讲好“实数理论”

本文探讨如何讲好“实数理论”。从实数集的完备性的公理出发到讲解“实数理论”的一系列定理及用这些定理证明的后继定理都应该突出“实数集的完备性”。使学生能抓住事物的本质，深刻理解“实数集的完备性”是《数学分析》的理论基础。     

“实数的十进位小数表示”与实数连续性等价

证明“实数的十进小数表示”与“单调有界数列必有极限”等价。从而也证明了“实数的寸进小数表示”与实数连续性等价。     

非标准实数系*R的结构简介

非标准分析,是本世纪六十年代才创立起来的数学分支。众所周知,运用极限方法(即通常所律ε—δ方法)在实数体R上建立起来的数学分析,我们称为标准分析。而在非标准分析里引进了一种新的实数系~·R,它是原有实数系R的一个特殊的扩充。利用无穷小量方法建立在~·R上的数学分析,我们称为非标准分析。非标准分析的特点之一,是运用新实数系~·R,去研究客观现实世界中的数量关系和空间形式。~·R包含了通常的实数系(R中的数称为标准实数),同时它还包含非标准实数,其中无穷小量和无穷大量两种非标准实数特别重要。它们和标准实数比较呈现出质的差异性。~·R中的数同R中的标准实数一样,对它们能施行加,减,乘,除等运算,并且像标准实数一样,按照数的大小顺序排列在数轴上,从而形成一条“非标准的实直线”,如下图所示:     

实数连续性的同值形式

实数连续性是实数系区别于有理数系的最本质的属性。有理数系不具有连续性,因而不能用有理数去度量诸如不可公度线段之比这样一些量,也不能用有理数去描述连续变量的变化状态;而实数系因为具有连续性,则能成功地解决上述问题。“数学分析”是研究连续变量变化规律的科学,因此实数连续性对于“数学分析”的严格逻辑结构起着奠基的作用。什么是实数的连续性?这在不同的实数理论中有着不同的表述。正如大家所知道的,有     

实数理论的等价性

实数理论有多种,最常见的是戴德金的分划、巴赫曼的区间套和康托的有法数列三种。由于各种不同的理论是由不同的人用不同的方式建立起来的,因而容易使人产生(尤其是初学者常会提出)这样的问题:“是否还可以用其他的途径和方法另行建立新的实数理论呢?”显然,回答是完全可能。但是所有的实数理论都是等价的,所以在教学中在给学生说明建立新的实数理论的可能性时,可以通过对上述三种理论等价性的证明,指出任何新建立的实数理论,都能用类似的方法证明其至少与上述理论之一等价,以使学生对实数理论有较全面深入的理解。     

谈复数不能规定大小

复数不能规定大小是每个数学工作者熟知的事实。但是,为什么复数不能规定大小,其解释就很不一致。有人说,复数不能规定大小的理由是:“因为实数是有次序地排列在数轴上的,而两个实数之间‘小于’、‘等于’、‘大于’等概念,就相当干两个对应点之间‘在后’、‘重合’、‘在前’的位置关系,所以两个实数是可以比较大     

实数圆与广义实数系R∞

用实数圆建立了一个关于“∞”的几何模型,得到了最小和最大的两个广义实数——左无穷和右无穷,并给出数中带左右沿的广义实数系R∞,指出了人们对“∞”认识上的一些误区及潜无穷对极限理论的消极影响,消除了极限中表述的矛盾.     

两个数学问题

问题1.(1)、在通常的几何学、拓朴学、分形几何学中,根本不可能存在有“维数为负实数的几何图形”,因为按照已有老的定义,可以证明这一结论的。 (2)、在分形几何学中,人们已经知道:对于任意给定的非负实数α≥0,则一定存在有维数为α的几何图形。 (3)、可是至今为止,还没有人找到过“维数为任意预先指定的负实数的几何图形”。 (4)、已有的老的关于维数的定义是否有它的局限性?能否扩充已有的维数定义,     

超实数域R及其性质

(一) 从自然数的产生到超实数理论的建立,人们对数的认识经过了一个漫长的发展阶段。在这期间,数的概念经过了四次重要的扩张:即从自然数到有理数;从有理数到实数;从实数到复数;从实数到超实数。数的概念的每一次扩张都是社会实践的需要,也是数的概念的内在矛盾发展的结果。数的概念的每一次扩张,都标志着人类对客观世界的认识发展到了一个新的阶段。     

实数连续性的同值形式

实数连续性是实数系区别于有理数系的最本质的属性。有理数系不具有连续性,因而不能用有理数去度量诸如不可公度线段之比这样一些量,也不能用有理数去描述连续变量的变化状态;而实数系因为具有连续性,则能成功地解决上述问题。“数学分析”是研究连续变     

MATLAB中数值型数据的机内编码与存贮空间浪费

MATLAB中的数值型数据分为整数型和浮点型,整数型数据以二进制补码存储,浮点型数据存储复杂。针对此情况,在MATLAB 2012a环境中,对浮点型单精度实数和双精度实数的机内编码方案进行实验研究,结果表明浮点型数据表示为规范形式,存储其中的数符码、指数码和尾数编码。根据实数绝对值大小范围的不同,尾数有两种不同的机内编码方案:"大实数"尾码和"小实数"尾码。MATLAB浮点型数据的机内编码一方面对所表示数的范围做了扩充,另一方面实数编码方案存在大量存贮空间闲置。为充分利用存储资源,MATLAB软件有必要进一步优化。     

算术根

我们知道,正数或负数的偶次方都是正数。例如:(+2)~2=4,(-2)~2=4。所4的平方根有两个,一个是+2,一个是-2。一般地,我们可以证明,在复数域中,an 次方根有 n 个数,而且可以指明:当 n 是奇数而 a 是实数时,a 的 n 次方根中必有一个是实数,且与 a 同号,而其余的根则是虚数;当 n 是偶数,而 a 是实数时,a 的 n 次方根中必有二个是数,它们的绝对值相等而符号相反,而其余的根则是虚数;当 n 是偶数而 a 是负实数时,an 次方根都是虚数。为了用一个记号表示一个确定的值,我们规定“a~(1/n)”只表示正数 a 的正方根,因为     

矢量代数中不存在矢量的“除法”运算

在矢量代数的教学中,学生易犯的错误之一,是将实数域中的除法运算搬到矢量代数中来。本文将从三个方面说明矢量代数中不存在矢量的“除法”运算。以下用G表示自由矢量的全体所构成的集合,用■…表示G的元素;用R表示实数集,用a,b,c,…表示实数。     

实数的可计算性与计算复杂性研究〈Ⅰ〉——构造性连续统的不可解问题

设C是一切可计算实数的类,R是有理数类.设a∈C 以α表示可计算实数α的一切程序的指标集.定义本文获得了下述结果:〈4〉C不是递归可枚举类,R是递归可枚举类;〈5〉(?)与(?)都是产生集;〈6〉(?)相对于(?)不可解;〈7〉设M是可计算实数的极小程序指标集,则有:((?)部分递归函数ψ)((?)x:W_z无穷且     

对省编教材“二次根式”一章的几点看法

通过教学实践,对我省所编初中数学教材第二册(1975年版)第六章“二次根式”有如下的几点看法:(一)第60页谈到“一个正数有两个平方根,这两个平方根的绝对值相等,符号相反。因为0~2=0,所以,零的平方根是零。”对于负数有没有平方根(在实数范围内)?却始终没有提到。笔者认为在实数这一节的后面应加上“因为任何实数的平方不为负数,所以负数的平方根在实数中不存在。”只有这样才是平方根的完整概念并且与第74页练习3〔“-49的平方根是一7”是否正确?为什么?〕相互照应。(二)第76页最末一行是积的算术根(ab)~(1/2)=a~(1/2)·b~(1/2)(a≥0 b≥0),并在下页总结出“乘积的算术平方根等于每个因式的算术平方根的乘积。”笔者认为在这段教材之后,最好声明一下“今后若无特别说明,所有被开方数的字母都表示正数或零”,否则在第77页第3     

超实数系

一、引言现行的传统的微积分中,“ε—δ”定义长期以来人们不容易理解,成为教学上的难点。并且无穷小这个基本概念有含糊不清、逻辑上有不够合理之处(见[2])。为了解决这个矛盾,A.Robinsn构造了包括无穷小、无穷大在内的超实数系,建立了一个公理体系证明了这个超实数系统是无矛盾的。一些数学家建立在超实数系上来讲微积分以及其它分析学,使其微积分的概念和理论几乎全部改观,从而另建立了一套微积分理论体系。近几年来,用这种非标准分析的方法来讲微积分在欧美一些国家盛行,并编有象[1]这样很成熟的教科书在大学使用。据报导,在教学上比起“ε—δ”方法较直观,学生容易接受。由于国内介绍这方面内容的文章较少,且都是迁涉许多的数理逻辑知识。本文的目的:仅将超实数系作一简要的通俗易懂的介绍。不妥之处,敬请指出。     

多项式时间复杂度的可计算实数域

近来,联系于著名的P与NP问题,开展了对构造分析(递归分析或可计算分析)的计算复杂性研究(见文献[1]、[2])。本文在Aberth的程序设计系统的计算模型里给出了两个可计算实数子类:多项式时间复杂度确定型可计算实数类PR与多项式时间复杂度非确定型可计算实数类NPR,证明了它们都是实数域与Rice可计算实数域的真子域。我们在该程序设计系统中引入了Oracle(神喻)集变元、Oracle函数变元以及随机变元,使用了Oracle指令与随机指令,从而建立了相对化的多项式时间复杂度可计     

实数的扩充及极限运算的代数化

实数理论是数学分析的基础,由有理数扩充到实数有几种方法,Cantor 由等价的Cauchy 有理数列引入实数。然而由等价的Cauchy 实数列则得不到新的数。本文去掉Cauchy 列的限制,而考虑一般的实数列以及有界实数列,然后按等价关系进行分类,由此得到实数集合R 的扩充G、K,R(?)K(?)G。文叶同时建立了新数系G、K 的代数结构:在G 中可进行加、减、数乘运算,而在K 中可进行加、减、乘运算,略加限制后,除法也可进行。此外,还建立了序的关系,而这些运算与序关系在实数的特殊情况下,完全一致。最后,通过一些具体的例子来说明这个理论的一个初步应用,即极限运算的代数化。     

不识最大自然数等使课本有一系列重大根本错误

可数集的各元都必可有自然数“配偶”这一特点使自识正整数5千年来一直“深埋地下”的最大自然数及无穷多无穷大自然数一下子“破土而出”推翻百年“标准实数完备”论，显示已知实数全体仅为实数宇宙中的一颗星球。从而揭示中、小学课本有一系列重大错误：搞错变量的变域而将部分误为全部（继而推出病态的“部分可=全部”）；误以为“有首项的无穷数列必无末项”使级数论有常识性与概念性错误而使小学课本违反起码数学常识地断定0．99…=1；…。     

关于数的顺序关系和大小比较

在一本《中学数学教材教法研究丛书》中解释说:“当实数用数轴上的点来表示时,两个实数之间的‘小于’、‘等于’、‘大于’的关系就对应于数轴上两个点之‘在左边’、‘相合’、‘在右边’的关系。在平面上任意两点间的位置关系,就不象数轴上的点的关系那样能够简单判定……。因此,对于两个复数,只要其中有一个不是实数,我们就不规定它们的大小。”本文对此提出了不同看法,并较全面深入地阐明了数的顺序关系和数的大小比较之间的联系和区别。