关于丢番图方程px~4-（p-1）y~2=z~4

对任意的奇素数p,还没有找到给出丢番图方程px4-（p-1）y2=z4的全部正整数解的统一的初等方法,目前只解决了某类特殊的奇素数p的求解问题,例如王洪昌等人完全解决了p-1=Q2;或2Q2;或qQ2,2｜Q,q≡3（mod4）为奇素数,Q为正整数的情形.认为对某类特殊的奇素数p求解丢番图方程px4-（p-1）y2=z4,目的是对任意的奇素数p,寻找给出丢番图方程px4-（p-1）y2=z4的全部正整数解的统一解法.当p=2q＋1,q≡5（mod8）,p,q为奇素数时,利用初等方法把方程px4-（p-1）y2=z4化为方程x2＋my2=z2,从而给出方程px4-（p-1）y2=z4的全部正整数解;当q为任意正整数时,上述解法仍然适用,因此对任意给定的奇素数p,实际上已经给出了丢番图方程px4-（p-1）y2=z4的全部正整数解的统一解法.     

关于丢番图方程|3x-2y|=p

设p为素数,x,y正整数.在文献中,周科证明了p=41,43,53,59,67,71,83,87,97时,方程|3x-2y|=p没有解;证明了方程在p=5,7,13,23时有超过一组的解并给出了所有解,该文证明了当p=31,37,47,61,73,79时,该方程有唯一解,并给出了相应解.     

一个与Smarandache函数有关的函数方程及其正整数解

目的研究一个包含Smarandache函数的对偶函数及其伪Smarandache函数方程的可解性。方法利用初等及组合方法。结果给出了该方程的所有正整数解。结论证明了该方程的所有奇数解必为奇素数p的方幂;而6是该方程惟一的偶数解。     

方程“π(x+33)-π(x)=10”有解的必要条件

当X >11时 ,方程“π(x +33) -π(x) =10”是否有解 ,这是素数分布中一个至今仍未解决的问题。本文给出了方程有解的一些必要条件     

指数Diophantine方程pa-pb-pc=z2

设p是奇素数。本文给出了方程pa-pb-pc=z2的全部非负整数解(a,b,c,z)。     

关于方程σ（n）=kn，k≥2解的讨论

本文对方程σ(n)=kn,k≥2解的各种情形进行了理论分析,其中σ(n)=∑d|nd.首先证明上述方程不存在形如n=pa,或者p1p2…ps＞6(其中p是素数,a≥1,pi为互异素数,i=1,2,…,s)的解,并进一步给出上述方程所存在解的具体形式,最后我们利用计算机在区间[4,108]上直接对此方程的解进行搜索,得以13个解,它们完全符合我们的理论分析.     

关于丢番图方程｜3x-2y｜=p解的非唯一性问题

设p为素数.2005年周科证明了p=41,43,53,59,67,71时,方程|3x-2y|=p无非负整数解.2007年周科证明了p=83,87,97时,方程|3x-2y|=p无非负整数解.该文证明当p=5,7,13,23时,方程有超过一组的整数解,并给出所有整数解.     

连续正整数偶次幂之和同余方程的整数解

利用连续正整数偶次幂之和关于素数模同余式的降幂性、对称性、归零性和缩减性,分别就与两种情形的若干特殊同余方程,给出了方程的全部整数解.     

关于丢番图方程（8n）x+py=z3

设p是奇素数,给出了丢番图方程8x+py=z3和64x+py=z3的整数解,并归纳得出形如(8n)x+py=z3的丢番图方程的一般解.     

关于丢番图方程x3-y6=3pz2及其计算程序

设p≡ 5 (mod6 )为素数 ,证明了丢番图方程x3 -y6=3pz2 在p≡ 5 (mod12 )为素数时均无正整数解 ,在p≡ 11(mod12 )为素数时均有无穷多组正整数解 ,并且还获得了该方程全部正整数解的通解公式 ,同时编写了计算正整数解的计算程序 ,可以很方便地计算该方程的正整数解。     

关于Diophantine方程x^3±1=3pD1y^2

利用数论中的同余及因子分解法,研究了丢番图方程x^3±1=3pD1y^2 （其中p是奇素数,p=3（24r＋19）（24r＋20）＋1,r是正整数,D1=2^α.q,α=0或1,q为奇素数,q≡5（mod 6））的解的情况.证明了该丢番图方程无正整数解,从而推进了该类三次丢番图方程的研究.     

指数Diophatine方程pa-pb+pc=z2

设P是奇素数．本文运用有关广义Ramanujan-Nagell方程的深刻结果，给出了方程 P^a-P^b＋P^c=z^2。的全部非负整数解（n，b，c，z）．     

Diophantine方程

利用初等数论的方法得到丢番图方程 无正整数解的一个充分条件. 设 是奇素数,证明了当 ,其中 是非负整数,则方程 无正整数解.     

关于Diophantine方程X2+Y2=Zr的素数解

设r是大于1的奇数,给出了方程X²+Y²=Zr的正整数解(X,Y,Z)中Y为奇素数方幂的必要条件.     

关于Diophantine方程y~2=px(x~2+2)

对于Diophantine方程y2=px(x2+2),这里p为奇素数,证明了:当p=2593时,它有唯一的正整数解(x,y)=(72,31116).     

关于丢番图方程x(x+1)(x+2)=2p~2y~3

利用初等数论的方法证明了丢番图方程x(x+1)(x+2)=2p2y3没有正整数解,其中p是奇素数。     

关于Diophantine方程x^3±8=Dy^2

利用数论中同余的性质研究丢番图方程x3±8=Dy2（D=D1p,D是无平方因子的正整数,其中D1是不能被3或6k＋1之形的素数整除的正整数,p是正奇素数）的解的情况,证明了当D1=3,7（mod8）,p=3（8k＋7）（8k＋8）＋1时,方程x3＋8=Dy2无正整数解;当D1=7（mod8）,p=3（8k＋5）（8k＋...