3-极大子群皆正规的有限群

令n是一个正整数,有限群G的一个子群H被称为G的一个n-极大子群,如果G有一个极大子群链H=Gn＜ *Gn-1＜…＜ *G0=G.此处研究了其n-极极大子群皆在G中正规的有限群G,此处n分别为2和3,并得到了上述两类有限群的分类定理.     

关于群的阶与群的共轭类数的商

讨论有限群的阶与群的共轭类数之比的问题 .得到 :定理　设G为非Abel有限群 ,p为G的最小素因子 ,c1为G中非中心元素共轭类长度的最小者 ,μ(G)为群G的阶与群的共轭类个数之商 ,则 : μ(G)≥ c1p2p2 c1- 1; 若Z(G)的阶为奇数 ,则 μ(G) =2当且仅当G/Z(G) S3 .     

阶对有限群的刻画

令πe(G)表示G中元的阶之集.对于所有有限单群,已证明其均可由元阶集及群阶进行刻画.即设G为群,H为有限单群,则当GH且仅当(1)πe(G)=πe(H);(2)∣G∣=∣H∣.本文继续这一研究,对两类有限非单群进行讨论.首先在不使用2qp阶群的分类的前提下证明了所有阶为2qp(q＜p为不同的奇素数)的群可仅用元阶集和群阶加以刻画,然后利用23p阶群的分类证明了有6类23p(p为奇素数)阶群也可由元阶集和群阶唯一确定.     

内交换p群的非正规子群的共轭类数

研究有限群的非正规子群的共轭类数是群论学中的一个重要课题.下面借助于内交换p群的分类,对内交换p群的非正规子群的共轭类数进行讨论,给出了ν(G)＝p、ν(G)＝p＋1和ν(G)＝p＋2时内交换p群的分类.     

恰有4个非正规子群的有限群

利用非正规子群的共轭类类数为1,2的有限幂零群的结构,运用局部分析的方法,对恰有4个非正规子群的有限群进行了分类,为恰有2p个非正规子群的有限群的研究开拓了思路.主要结果为若有限群G恰有4个非正规子群,则G幂零且同构于以下群之一:1)P2×Zq,其中P2=x,y|x2n=y2=1,xy=x1+2n-1,n≥3且q为奇素数,Zq是q阶循环群;2)[Z4]Z4,其中Z4是4阶循环群;3)Q16;4)D8;5)M(2n,4)=x,y y2n=x4=1,yx=y1+2n-1,n≥3.     

同阶子群个数的集合为{1,m}的幂零群

把同阶的子群看作一类,并用n(G)表示G的同阶子群个数的集合.通过数量分析对n(G)={1,m}的幂零群进行了分类,完善了相关工作,得到了相关结果:如果G为有限幂零群且n(G)={1,m},那么G=H×P,这里H为G的循环正规Hall子群,P为G的Sylow p-子群.另外,下面结论之一成立:1)m=1+p,P同构于Cpn-1×Cp,Q8,M(n-1,1)(除D8)中的某一个,这里M(n-1,1)=a,b apn-1=bp=1,ab=a1+pn-2;2)m=1+p+p~2,P同构于C_p×C_p×C_p,M(2,1)*Cp2中的某一个,这里"*"表示中心积,M(2,1)=a,b ap2=bp=1,a~b=a~(1+p).     

非正规子群链长为3的有限p群

设G为有限非Dedekind p群,则H≤G,使得H/G.设p 2,对于非正规子群链长为3的有限p群,本文主要分类了chn(G)=3且非正规子群的阶恰为pm,pm+1,pm+2(m≥3)的有限p群,记这类群为P群.     

4p2阶群的g函数值

对任一有限群G和任一正整数d,令G(d)={x∈G|xd=1|}。若G1与G2为有限群,满足|G1(d)|=|G2(d)|,d=1,2,…,则称G1与G2为同阶型群。文中讨论了与Thompson猜想相关的同阶型群的问题,两个有限群阶型相同是否同构的问题,并且对有限群G,定义了G的g函数值g(G),表示与群G的阶型相同的有限群的同构类类数。本文利用4p2阶群的结构完全分类,通过计算得出所有4p2阶群的阶型,对任一4p2阶群M,得出了M的g函数值。特别地,在4p2阶群中找到了一对群,它们的g函数值为2,即阶为4p2的群中存在一对不同构的群,它们阶型相同.这里p为奇素数。     

ν(G)=p+1的有限p群的分类

通过有限群的非正规子群的共轭类数来确定有限群的结构一直是群论研究中的重要问题,给出ν(G)=p+1的有限p群的分类,其中ν(G)表示有限群G的非正规子群的共轭类数.     

关于有限群p-幂零性的刻画

设T(G)和k(G)分别为有限群G的复特征标次数和与共轭类数,且设p是素数,若|G|/T(G)<2p/(p+1)或|G|/k(G)<4p/(p+3),则G是p-幂零群.     

极大类p群的非线性非忠实不可约特征标个数

利用极大类p群的性质以及有限群的特征标理论探究了极大类p群G的非线性非忠实不可约特征标的个数.证明了pⁿ阶的极大类p群G的非线性非忠实不可约特征标的个数等于p^n-1阶的极大类p群G/Z(G)的非线性不可约特征标的个数.特别地,分析了只有3个非线性非忠实不可约特征标的有限p群的性质.     

自同构群阶为16p1p2…pr的有限幂零群

设G是有限群,Aut(G)表示群G的自同构群的阶。本文给出了满足Aut(G)=16p1p2…pr(p1,p2,…,pr是不同的奇素数)的有限幂零群的完全分类,推广了相关文献的一些结果。     

具有给定共轭类长的有限非可解群

设G是有限非可解群且Z(G)=1.如果G的非中心共轭类长为pq,p r2,qr2,那么G同构于5次交错群A5;如果G的非中心共轭类长为15,5p,15p,5p2,3p3,那么G同构于5次对称群S5.     

两类2pq阶3度Cayley图的正规性

有限群G的一个Cayley图X=Cay(G,S)称为正规的,如果右乘变换群R(G)在图X的全自同构群Aut(X)中正规.决定Cayley图Cay(G,S)是否正规,对于确定它的自同构群的结构有重要意义.设p,q为奇素数,q相似文献   

非交换子群的交较大的有限p群

在有限p群中引进另一个新的子群概念-IAk(G),即G的所有Ak子群的交.IAk(G)是G的特征子群,并且IA1(G)就是群G的所有非交换子群的交.对于pn阶群G而言,本文完全分类了|IA1(G)|分别为pn-2和pn-3的pn阶群G.     

F-z-可补子群对p-幂零群的影响

设H是有限群G的一个子群,称H在G中是F-z-可补的,如果存在G的一个子群K,使得G=HK且H∩K≤Z∞(G),其中,是一个群系.首先利用p阶和p2阶子群的Np-z-可补性,得到如下结论:1)令G是与A4无关的有限群,p是|G|的最小的素因数,P是GNp(群G的Np-剩余类)的Sylow p-子群.如果P的每个p或4阶循环子群均在G中Np-z-可补,那么G是p-幂零群.2)令G有限群,p是|G|满足(|G|,p2-1)=1的素因数.令H是G的正规子群使得G/H是p-幂零的.若H的每个阶为p2的子群均在G中Np-z-可补,则G是p-幂零的.其次探讨Sylow p-子群的2-极大子群的U-z-可补性对p-幂零群结构的影响,得到如下结论:3)令p的|G|最小的素因数.若G与A4无关且Gp每个2-极大子群均在G中U-z-可补,则G是p-幂零的.     

同阶子群个数之集为{1,3,p+1}的有限群

设G是有限群，n(G)表示同阶子群个数组成的集合.本文刻画了n(G)={1, 3,p+1}时有限群G的结构，其中p为奇素数.     

自同构群的阶等于其阶p倍的有限p-群

假设G为阶大于p~2的有限非循环p-群,如果G的阶整除G的自同构群Aut(G)的阶,则称G为LA-群。本文主要考虑满足p|G|=|Aut(G)|的有限p-群G,并且分类了满足这一条件的某些有限p-群类。     

关于有限群的s-半正规子群II(英文)

有限群G的一个子群H称为在G中s 半正规 ,如果H同G的所有阶与｜H｜互素的Sylow子群相乘可换 .研究了s 半正规子群的一些基本性质和它们是如何影响群结构的 .主要结果如下 :(1 )假设N是有限群G的一个正规子群使得G/N是p 幂零群 ,其中p为 ｜G｜的素因数并且 (｜G｜ ,p - 1 ) =1 .如果N的一个Sylowp 子群Np 的所有极大子群都在G中s 半正规 ,则G是p 幂零群 .(2 )假设N是有限群G的一个正规子群使得G/N是超可解群 .如果N的每个Sylow子群的全体极大子群都在G中s 半正规 ,则G是超可解群     

含有极大子群为单群的非单有限群的结构

本文研究并解决了含有一极大子群为单群的非单有限群的结构,主要结论是:设G为有限群,H为G的一个极大子群,则1.H为p(素数)阶群时,G为p~2阶群,或pq阶阿贝尔群,或pq~β阶极小非幂零群.其中p≠q且均为素数,β为q关于模p的指数.2.H为非阿贝尔单群.但G非单时,G必为下列情形之一:1)H×K;H为非阿贝尔单群,K为素数阶群.2)H_1×H_2;H_1、H_2为互相同构的非阿贝尔单群.3)H≤G;G/H的阶为素数,H为非阿贝尔单群且在G内无正规补子群.4)G=HN;H∩N=1,H为非阿贝尔单群,N为非单的特征单群,且H依共轭不可约地作用于N上.此外,对有限群G中的单极大子群之间的关系,本文也进行了若干讨论.