关于S.Win的一个猜想

令G是一个图,P=|V(G)|,(?)u,v∈V(G),uv(?)E(G),d(u)+d(v)≥P+K,其中k是整数,则称G为Ore k—型图。S.Win提出如下猜想:若G是2n(n≥1)阶Ore k—型图(-1≤k≤2n-4),则G具有k+2个边不重的1—因子。本文证明了k=-1时,Win猜想成立。实际上,除个别图处,我们证明了更强的结论:若G是2n(n≥2)阶Ore-1—型图,且G(?)H_i(i=1,2),则G具有两个边不重的1—因子。     

猜想σ((n))/n≥1/2

本文证明了当k≤7,a1 >a2 > >ak>1,且ai+1 (i=1,2, ,k)是素数时,σ ∏ki=1ai ≥∏ki =1(ai+1 )成立,进而证明了当n素因子个数不超过 7时,猜想σ( (n))/n≥1/2成立     

有圈二部图覆盖的一个结果

H.Wang猜想,对于任意整数k≥2,存在N(k)使得二部图G=(V1,V2,E)中,V1=V2=n≥N(k),且对于G中任意一对不相邻的顶点x∈V1,y∈V2,有d(x)+d(y)≥n+k,那么,对于G中任意k个独立边e1,e2,e3,…,ek,存在顶点不重的k个圈C1,C2,…,Ck,使得ei∈E(Ci),i∈{1,2,…,k}和V(C1∪C2∪…∪Ck)=V(G).H.Wang及J.A.Bondy对k=2,3时证明了猜想成立,本文对k=4证明了猜想的正确性.     

一些迭代递归公式

Fine提出如下两个猜想。猜想(Ⅰ_b):设0相似文献   

猜想σ(ф(n))/n≥1/2

本文证明了当k≤7,a1＞a2＞…＞ak＞1,且ai 1(i=1,2,…,k)是素数时,σ∏ki=1ai≥∏ki=1(ai 1)成立,进而证明了当n素因子个数不超过7时,猜想σ((n))/n≥1/2成立.     

关于图的点着色的一个猜想的探讨

Lovasz 在 1968 年提出了猜想[1]:若 G 不是完全图,并且x=m+n-1,这里 m≥2 以及n≥2,则存在 G 的不相交子图 G1和G2使得X(G1)=m 和 X(G2)=n.该文举例说明该猜想并不一定成立,同时给出使此猜想成立的一些充分性条件.     

图的升分解的一些充分条件

A Lavi等人在[1]中定义了图的升分解,并提出猜想:设自然数n≥2,G是星S1,S2,…,Sk的并图,Si含有ai条边,n ≤ ai ≤2n-2,∑ai=((n+1)/2),则G可升分解为星图的并。本文说明n=2时猜想不成立。当猜想中的n≥2修改为n≥3时,并不妨假设 ,本文证明了只要下列条件之一满足时猜想就成立:(1) > n+2K一2,且4(n一K+2)≤2 < +3n一4K+8;(2) ≥n+3K-6且     

关于Zalcman猜想

设f(z)=z+a_2z~2+a_3z~3+…∈S。Zalcman猜想|a_n~2-a_(2n-1)|≤(n-1)~2当n≥2时对函数类S成立,本文证明了当n=3时,Zalcman猜想是成立的。     

正则2-连通图的最长圈

P.Erdos和A M Hobbs在[1]中提出如下的结论:设k≥6,G是2k个顶点的(k-2)次正则的2-连通图,则G是Hamilton图(以下简称为H图)。本文提出比上述结论更为广泛的定理:定理1 设k≥4,G是n个顶点的(k-2)次正则的2-连通图,则除G是peterson图外,G必有个长至少为min{n,2k}的圈。由于:(i)定理1中的k=4时,G是2-正则2-连通图,G是H图,它有个长为n≥min{n,2k}的圈;(ii)定理1中的k≥5且n≤3(k-2)时,根据[2]中的B.Jackson定理知,这时G是H图,它有个长为n≥min{n,2k}的圈。因此,要证明定理1成立,只要证明如下的定理2成立。定理2 设n≥3k-5≥2k,G是n个顶点的(k-2)次正则的2-连通图,则除G是Peterson图外,G必有个长至少为2k的圈。在证明定理2的过程中,本文作下列的假设:     

关于k-优美图一个猜想的证明

二分图是一类有着广泛应用的图,但这类图并不都是优美图,因此需要进一步深入研究它的优美性。本文根据马克杰教授提出的猜想:完备二分图Km,n的冠是k-优美图(m≤n,k≥2),利用构造法证明了当m=1或m=2,k≥2时,猜想成立;当m≥3,k≥(m-2)(n-1)时,猜想成立。拓展了k-优美性的研究范围。