圆周自映射的回归点和非游荡点

设C~0(S~1,S~1)为圆周S~1到自身的全体连续映射集合,并设f∈C~0(S~1,S~1)。周期点集、回归点集、非游荡集以及x的ω极限点集分别记作P(f)、露(f)、Ω(f)和ω(x,f),f的拓扑熵记作ent(f)。     

Blokh的一个断言的证明及其推广

记I为[0,1],S′为单位圆周,C~0(I,I)和C~0(S,S′)分别是I和S′上的连续自映射全体.设f∈C~0(I,I)或C~0(S,S′),以P(f)和R(f)分别记f的周期点集和回复点集。     

线段自映射的非游荡集等于周期点集的一个充要条件

1.本文我们继续讨论线段自映射产生的动力系统问题。 设f∈C~0(I,I),用P(f)和Q(f)分别表示f的周期点集和非游荡集。其它有关定义,名词和符号见另文。我们的目的是证明下述     

圆周自映射拓扑熵为零的充要条件

设S~1为单位圆周,对a、b∈S~1,a≠b,(a,b]、[a,b)分别是指S~1上按逆时针方向从a到b的半开弧。对于f∈C~0(S~1,S~1),记f的拓扑熵为ent(f),f的回复点集为R(f),     

无穷熵不连续点的稠密性

一、引言 设X是一个紧致度量空间。记X到X的全体连续映射的集合为C~0(M,M),并赋与一致收敛拓扑。设f∈C~0(X,X),记f的周期点集、非游荡点集和拓扑熵为P(f)、Ω(f)和h(f)。我们可以考虑下述的函数:     

与间隙现象相关的一个极小问题

设Ω是R~3中的一个有界区域,B~3和S~2分别是R~3中的单位球和单位球面.由文献[1]知,对f∈H~1(Ω,S~2),如果div(D~（?）(f))≠0,这里D~（?）(f)=(（f×f_(x_2）)(?)f_（x_3）,(f×f_(x_3))(?)f_(x_1),(f·f_(x_1))(?)f_(x_2)),则f不能被C~1((?),S~2)中的映射逼近,即有下面的间隙现象:对不能被C~1((?),S~2)中的映射逼近的f∈H~1(Ω,S~2),一个自然的问题是:下面的极小问题是否可达:关于这方面的结果,Bethuel和Brezis对Ω=B~2,f=x/|x|,证明了(2)式不可达.本文在f满足下面的条件(f_1)和(f_2)时,考虑极小问题(2).我们将用一种与文献[2]完全不同的方法,证明对于(2)式的Euler方程的任一弱解u,有Sing(f)(?)Sing(u),这里,Sing(u)是u的奇点集.作为该结果的一个直接推论,知(2)式不可达.设f∈H~1(Ω,S~2)满足下面的条件:(f_1)存在a_1,…,a_k∈Ω,使得f∈C~1((?)\{a_1,…,a_k});(f_2)对于每个a_i,存在一个非常数的光滑映射φ_i:S~2→S~2,使得当σ→0时,于H_1(B~3)强收敛.显然,对于非常数的光滑映射φ:S~2→S~2,f(x)=φ(x/|x|)满足(f_1)和(f_2).在叙述本文的结果之前,先计算     

关于线段自映射的几个等价条件

设I=[0,1]和C°(I,I)表,到自身全体连续映射的集合。设f∈C°(I,I),用P(f),Ω(f)和ent(f)分别表f的周期点集,非游荡集和拓扑熵。结合 Bowen-Franks (Topology,15(1976),337—342)和Block(Proc.Amer.Math.Soc.,72(1978)576—580)的工作,作者最近完成下述定理的证明。     

圆周上一类连续自映射

1.到目前为止,已有很多作者讨论了圆周自映射所产生的动力系统性质。例如,文献[1]系统地研究了圆周自映射的拓扑熵,并在某些情形下得到了拓扑熵下限的最好估计。但是,就作者所知,目前还没有人论及圆周自映射的非游荡集结构,圆周自映射的拓扑熵为零的充要条件和圆周自映射的周期集合,周期点集、非游荡集和拓扑熵之间的关系。毫无疑问,这些问题都是重要的。     

连续自映射——Ω爆炸

1.设(X,d)为紧致度量空间。用C~0(X,X)表全体X上连续自映射的集合并赋以C~0拓扑(一致收敛拓扑)。设f∈C~0(X,X)和任给ε>0。设x,y∈X。从x到y的一个ε链是指有限序列{x_0,…,x_n},使得x_0=x,x_n=y且d(f(x_(i-1)),x_i)<ε,i=1,2,…,n。用CR_ε(x)表X的这样的子集,使得y∈CR_ε(x)当且仅当存在从x到y的ε链。当y∈CR_ε(x)     

Anosov映射的单一化拓扑稳定性

Sakai指出Anosov映射在连续满射构成的空间内不具有拓扑稳定性(扩张映射除外),而我们的结果表明Anosov映射保持着轨道定向意义下的稳定性,即单一化拓扑稳定性。 设M为紧致度量空间,以C~0(M)记M上全体连续满射(带C~0拓扑)形成的空间。对f∈C~0(M),记称为f的轨道空间。为     

S1到圆柱面的二阶浸入

设S~1={e~(iθ)(?)C为标准的单位圆周,M_g为连通的二维Riemann流形,f:S~1→M_g为C~∞浸入。f称为二阶浸入,如果它的测地曲率k_g处处非零。两个二阶浸入f_0,f_1:S~1→M_g称为二阶浸入同伦,如果存在一个同伦f_s,s∈[0,1],使得对每个s,f_s都为二阶浸入。当M为标准的Euclid平面时,李邦河给出了二阶浸入简洁的分类。Little完全解决     

多自由度Hamilton系统的Birkhoff低维环面

考察平面上原点O的某邻域U上保面积的C~l(l≥3)微分同胚f:U→R~2,满足f(O)=O,且f在原点处的导映射Df(O)有一对纯虚根e~(±iω_0),ω_0≠2πm/n,即原点是f的椭圆型不动点,在通常情况下可将f写成f=B C,其中B限制在每个圆周p~2 q~2=2τ上等干旋转一个角度ω(τ)=ω_0 ω_1 …,C代表高阶项.显然每个圆周p~2 q~2=2τ都是B的不变圆周.通常f不能把每个圆周都保留下来,但是根据著名的KAM定理,大量使得ω(τ)满足Diophantine条件的不变圆周并不破裂,它们经过高阶项C的摄动后只是稍微变形.然而在通常情况下,使得ω(τ)为有理数的圆周经过提动后一般会破裂,从而产生f的有限多对周期点,其中一半是双曲的,一半是椭圆的,如Birkhoff不动点定理所示.对于那些椭圆型周期点附近的情况可以重复上面的论述而得到一个无限嵌套的自相似结构,从而形成一个复杂的图象.     

对于线段连续自映射fΩ(f|Ω(f))=■

在此短文中我们证明了下列定理。定理 若I为线段(即区间,亦即直线的连通子集),f:I→I为连续映射,则(b)当I紧致时,以及结论(a) 意味着线段连续自映射的中心是周期点集的闭包,中心深度不大于2(中心和中心深度的定义见文献[1]),当I紧致且,分段单调时,这一结论由Nitecki证明;当I紧致且f没有异状点时,这一结论由周作领证明(异状点的定义见文献[2]),结论(b)首先是由     

扩张不变集的Песин熵公式

设M为C~∞紧致Riemann流形,f:M→M为C~2映射,m为M上的Riemann测度。μ为M上的f不变Borel概率测度。以λ(x)表示点x处f的所有正指数之和(计算重数),h_μ(f)表示f关于μ的测度熵。     

线段连续自映射的非游荡集

设I为线段(即区间,亦即直线的非平凡的连通子集),f∶I→I为连续映射。f的周期点集P(f)和非游荡集Ω(f)定义如通常。设。如果存在ε>0使得(或者,则称x在Y中是左孤立的(相应地,右孤立的);如果x在Y中是左孤立的或者是右孤立的,则     

一类卷积算子的亚椭圆性条件

设f∈C~∞(R~n),(ρ,θ)为x∈R~n的极坐标,S~(n-1)为R~n中单位球面。若f作为(1/ρ,θ)的函数可解析延拓到{0}×S~(n-1)的某复邻域中,则称f在无穷远处解析。设函数d在无穷远处解析。定义卷积算子A_d:ε'→S'如下:A_d     

等参梯度映射Brouwer映射度的计算

设M,N是m维定向闭流形,g:M→N是光滑映射。众所周知,g的Brouwer映射度(简称映射度),其中y是g的任一正则值。当M=N=S~(n+1)时,g的同伦类[g]∈π_(n+1)S~(n+1)≌Z完全由g的映射度确定。而讨论π_(n+1)S~(n+1)中元的调和表示是一个重要的研究课题。因此计算映射的映射度成为必要。 设g:R~(n+2)→R为k次等参多项式(定义见第1节),则Φ=(1/k)▽f为R~(n+2)→R~(n+2)的齐次映射,Φ|S~(n+1)为S~(n+1)→S~(n+1)的映射。彭家贵、唐梓洲利用活动标架法和等参超曲面的几何,根据映射度的几何定义求出了等参梯度映射Φ的映射度,从而给了球面之间新的调和映射。本文根据映射度的拓扑定义,首先研究Φ的切映射与f的Hessian之间的关系,然后用类似于文献[4]的方法对等参多项式进行分解,并求出其中某些部分的明确表达式,从而得出所有Φ的映射度。     

圆周自映射

设(X,d)为度量空间和f∈C~0(X,X)。 定义 说f是等度连续的,如果对任意ε>0,存在δ>0,使得这里V(x,δ)表x的δ球形邻域。 此外,转移不变集和紊动集的概念假定     

全局渐近稳定性的Jacobi猜想的证明

设f∈C~1(R~2,R~2),f(o)=0.考虑平面微分方程x=f(x) (1)很久以来人们猜测:如果(?)x∈R~2,f的Jacobi矩阵Df(x)的特征值都具有负实部,则微分方程(1)的零解全局渐近稳定.在文献中,此猜想被称为Jacobi猜想或平面Markus-Yamabe猜想.1963年,Olech证明此猜想等价于f的全局单射性.1988年,Meisters和Olech证明,当f是多项式映射时,Jacobi猜想成立.1991年Gassull,Llibre和Sotomayor证明,当f是Khovansky函数(一类解析函数)时,Jacobi猜想成立.本文对一般情况证明了Jacobi猜想成立.1 预备知识设S~k(R~2,R~2)={f∈C~k(R~2,R~2)|(?)_x∈R~2,Df(x)是稳定矩阵},k=1,2,…, ∞ .设f∈S~∞(R~2,R~2),则(?)_x∈R~2,Lyapunov矩阵方程Df(x)G(x)十G(x)(Df(x))~T=-I_2 (2)有唯一正定解G(x),其中I_2为2×2单位阵.显然G∈C~∞(R~2,R~(2×2)).定义微分方程(?)y=G(y)ν,ν∈R~2, (3)y(0)=x,     

Fuzzy序同态与Zadeh型函数

所谓Zadeh 型函数就是一种由分明映射提升给出的L-Fuzzy 集之间的映射,它是很基本的.讨论其他更一般形式的映射(例如Fuzz 函数)成为Zadeh 型函数的充要条件是令人关注的.我们将改进文[2]在这方面的结果.L、L_1与L_2表示完备格,其最小元表作0.定义1 若映射f:L_1~X→L_2~Y 及其逆f~(-1)是保并的,且f(0)=0,则称f 为Fuzzy 序同态;若L_1与L_2为Fuzz,f:L_1_X→L_2~Y(L_1与L_2允许不同)保并,f(0)=0,且f~(-1)保补,即对B∈L_2~Y,f~(-1)(B')=(f~(-1)(B))',这里'表示相应的对合对应,则称f 为Fuzz 函数.