带滞量微分方程解的表达式的一个推广

利用复函数方法讨论了方程a_nx~(n)(t)+a_(n-1)x~(n-1)(t)+…+a_0x(t)+bx(t-τ)=(t~k+c_(k-1)t~(k-1)+…+c_1t+c_0)e~(αt)cosβt a_nx~(n)(t)+a_(n-1)x~(n-1)(t)+…+a_0x(t)+bx(t-τ)=(t~k+c_(k-1)t~(k-1)+…+c_1t+c_0)e~(αt)sinβt解的一些表达式,获得了更一般的结果,推广了最近文献中的有关结果     

用摄动法解n阶线性随机微分方程

一个含有随机系数a_k(x)的n阶线性微分方程的形式为 L_au=a_n(x)d~uu(x)/dx~n+a_(n-1)(x)d~(n-1)u(x)/dx~(n-1)+…+a_o(x)u(x)=P(x) 其中p(x)是随机函数。本文对以下三种情况: 1 含微变化的随机系数的方程; 2 含缓慢变化的随机系数的方程; 3 只含一个随机系数的方程。用摄动法讨论上述方程的解的某些统计性质,求出解的某些特征值,或求出解的概率密度。     

线性常微分方程解的性质的评注

目前国内出版的常微分方程教科书中,对n阶线性方程y~(n)+a_1(x)y~(n-1)+…+a_(n-1)(x)y'+a_n(x)y=f(x) (1)的解的性质,如线性齐次和非齐次方程解的迭加原理,复值解等,都是分散在各节中讨论.其实,这些解的性质之间存在着一定的内在联系.我们可以集中统一处理这部分教学内容.笔者在教学过程中,曾经作过尝试,现在根据实践情况,并参考(1),将它整理出来,供大家参考.     

高阶微分方程边值问题多个正解存在性

利用5个泛函的不动点定理,证明了2n阶微分方程边值问题y(2n)=f(t,y,y″,…,y(2(n-2)),y(2(n-1))),0≤t≤1,y(2i+1)(0)=y(2i)(1)=0,0≤i≤n-1的3个单调正解的存在性。     

一类可化为逐次积分的n阶线微分方程的解法

通过把线性微分方程xy(n)+ny(n-1)=f(x)化为可逐次积分的线性微分方程,找出了它通解的形式,给出了严格的证明,并将它推广,得到xy(n)+(x+n)y(n-1)+(n-1)y(n-2)=f(x)的通解.     

一类二阶线性微分方程的积分法

关于二阶变系数线性方程(1) y″+ p(x)y′十q(x)y=0与相应的非齐次方程(2) y″+p(x)y′十q(x)y=R(x)的可积类型已有不少探讨,本文讨论方程(1),(2)积分因子存在的条件,并给出它们的通解形式及求解方法,得到如下结果。 定理1 二阶线性方程(1)(其系数p(x)∈C~2,q(x)∈C~1)存在积分因子μ(x),使通解表示为y=1/(μ(x))(c_1x+c_2)(c_1与c_2为任意常数)的充分必要条件是系数p(x)与q(x)满足     

关于高阶微分方程的解法

我们在本刊80年第2期张棣先生给出函数e~(∫φ(X)dX)是方程a_0(X)y(~n) a_1(X)y(~(-1)) … a_n(x)y=0 (1)的解的充要条件的启示下:本文得到的主要结果是:     

一类一阶非线性微分方程可积条件及通解表示

讨论一阶非线性微分方程dy/dx=p(x)y+q(x)(y+f(x))n+r(x),用化归思想得到该方程可积的充分条件及推导出若干可积类型.     

一类可化为逐次积分的n阶线性微分方程的解法

通过把线性微分方程xy(n) ny(n-2)=f(x)化为可逐次积分的线性微分方程,找出了它通解的形式,给出了严格的证明,并将它推广,得到xy(n) (x n)y(n-1) (n-1)y(n-2)=f(x)的通解.     

常微分方程中积分因子的若干性质

本文主要给出积分因子的若干性质,为我们提供了求方程积分因子的一些方法,较文[4]有关问题的解法简洁,且有规律可循。可说是文[1]、[2]、[3]关于求方程积分因子方法的补充和推广。 若方程 M(x,y)dX+N(x,y)=0, (1)的左端恰是某一函数n(x,y)的全微分,即 加du(x,y)≡M(x,y)dx+N(x,y)dy,则方程(1)称为全微分方程(或叫恰当微分方程),这时u(x,y)(或u(x,y)=C是方程(1)的通积分。     

两点边值问题的双向迭加法

考虑二阶线性常微分方程的两点边值问题: Lu=f(x),a≤x≤b (1) (I){ a_1u′(a)+a_2u(a)=α,b_1u′(b)+b_2u(b)=β (2) (a_1~2+a_2~2≠0,b_1~2+b_2~2≠0)不失一般性,算子L可看作 Lu=u″(x)-q(x)u(x) (3) 众所周知,方程(1)的通解具有如下迭加结构: u(x)=c_1u_1(x)+c_2u_2(x)+u_f(x) (4)其中u_1,u_2为对应(1)的齐次方程     

非線性微分方程的高階奇点

对於微分方程在高阶奇点附近的积分綫的拓扑結构已为所研究本文研究微分方程在高阶奇点O附近积分线的拓扑結构,設X(x,y)=0,与Y(x,y)=0为不可约的,原点为方程(2)的孤立奇点,根据董金柱的結果方程(2)的奇点指数仅有0或±1或±2。我們首先确定Y(x,y)=0,X(x,y)=0在何种情况之下会出現指数为0或±1,或±2的奇点,其次研究参量a_(ii),b_(ii)在不同情况下,原点附近积分线的拓扑结构,为方便起見,当Y(x,y)=0(或X(x,y)=0)是不退化的或者退化为两不相重的平行线时則称Y=0(或X=0)为正常的,否則Y=0(X=0)称为非正常的(有退化     

关于线性型Frobenius问题的注记

以g(a_1,a_2,…,a_n)表n元整系数线性型a_1x_1+…+a_nx_n,a_i>0,(a_1,…,a_n)=1,不可非负整表出之最大整数,D_(n-1)=(a_1,…,a_(n-1)).注记中将证明g(a_1,…,a_n)=D_(n-1)·g(a_1/D_(n-1),…,a_(n-1)/D_(n-1),a_n)+(D_(n-1)-1)a_n。并由此对Brayer关于g(a_1,…,a_n)之上确界的著名结果和Roberts关于g(a,a+d,…,a+sd)的精确结果分别给出一个十分简洁的新证明.     

二阶齐次线性微分方程的几种可积情形

我们已经知道,二阶非齐次线性微分方程的通解的求法最后归结到其对应齐次方程的一个特解:木文拟通过因变数或自变数的变换,探讨二阶齐次线性微分方程的几种可积情形。设已给(d~2y)/(dx~2) a_1(x)(dy)/(dx) a_2(x)     

非线性4n阶常微分方程的非线性三点边值问题解的存在性

利用“上下解”的方法，讨论了非线性4n阶常微分方程y^(4n)=f(t,y,y′，…，y^(4n-1)满足条件g2i(y^2i)(a),y^(2i 1)(a))=0 i=0,1,…，2n-3 g4n-4(y^4n-4(a),y^(4n-3)(a),y^(4n-2)(a),y^(4n-1)(a))=0 g4n-3(y(b),6′(b),…，y^(4n-6)(b))=0 g4n-2(y^4n-5)(b),y^(4n-4)(b))=0 g4n-1(y^4n-3)(b),y^(4n-2)(b))=0 g2i 1(y^2i 1)(c),y^(2i 2(c))=0 i=0,1,…，2n-4 g4n-5(y^(4n-5(c),y^(4n-4)(c),…,y^(4n-1)c(c))=0 的非线性三点边值问题解的存在性.     

二阶变系数齐次线性微分方程与黎卡提方程

工程上有许多问题归结为求二阶线性变系数齐次微分方程y″ p1(x)y′ p2(x)y=0的解，但解这个方程一般情况下是比较困难的。就已知该方程一个解和已知黎卡提方程z′=-[x^2 p1(x)x p2(x)]的一个解2种形式给出了该方程的通解的表达式，同时，又揭示了二阶线性变系数齐次微分方程与黎卡提方程的内在联系。     

一类高阶非线性微分方程解的稳定性

本文对高阶非线性微分方程组x=f_1(x,y,x,y,x,y)…y=f_2(x,y,x,y,x,y)的某些特殊类型,研究了平凡解的全局渐近稳定性[1],用类比法[2]构造李雅普诺夫函数,得到了全局渐近稳定性的一些充分条件。主要结果为定理2、定理3和定理4。文中具体研究了如下三种类型的方程:和x a_1x a_2y a_3x a_4y f(x)=0…y b_1x b_2y b_3x b_4y g(y)=0x a_1x a_2y f(x) a_4y a_3x=0…y b_1x b_2y b_3x g(y) b_6y=0x f(x) a_2y a_3x a_4y a_5x=0…y b_1x g(y) b_3x b_4y b_6y=0其中ai,bi(i=1.2.…,6)均为常数,f和g具有保证解对初值唯一性的条件。     

二阶变系数齐次线性微分方程与黎卡提方程

工程上有许多问题归结为求二阶线性变系数齐次微分方程y″ p1(x)y′ p2(x)y=0的解,但解这个方程一般情况下是比较困难的。就已知该方程一个解和已知黎卡提方程z′=-[z2 p1(x)z p2(x)]的一个解2种形式给出了该方程的通解的表达式,同时,又揭示了二阶线性变系数齐次微分方程与黎卡提方程的内在联系。     

关于不定方程a_1X_1+a_2X_2+…+a_nX_n=N的非负解个数的讨论

设不定方程(1)a_1x_1+a_2x_2+…+a_nx_n=N,其中,n≥2,(a_1,…a_n)=1,N和a_i(i=1,2,…,n)均为正整数(且不妨假设a_1≤a_2≤…≤a_n)。 (1) (1)的非负整数解的个数是有限的,设为T_n(N)。记0相似文献   

一类具有拟周期系数的二阶偏微分方程平衡点的稳定性

给出了判别一类偏微分方程平衡点稳定性的简单可行的方法。即对于方程ut-uxx+c(t)u=0且u(t,0)=u(t,2π)=0,其中u(t,x)=Σ+∞n=1qn(t)φn(x),这里φn(x)为方程y″=-λy且y(0)=y(2π)=0中对应特征值λ的特征函数,c(t)=α+εc1(t),α为正的常数,c1(t)是充分光滑的以ω为频率的拟周期函数。结合KAM理论,证明了对大多数充分小的ε,该方程是可约化的,最后利用约化后的结果给出其平衡点的稳定性。