拉格朗日中值定理在微分学中的应用

拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一,研究如何应用拉格朗日中值定理来证明函数的性态和不等式,求极限以及判断级数的收敛性,给出相关例题加以说明.     

确定分段函数导数的方法

对于分段函数的求导,关键是确定分段点处的导数,通常的方法是先计算左、右导数,再根据导数与左、右导数的关系进行判定,较为繁琐.根据拉格朗日中值定理,给出利用左、右极限计算导数的方法,可以较方便地求出分段函数的导数.     

由泰勒公式和中值定理谈一元函数微分学与多元函数微分学形式的统一

利用高阶微分和方向导数,改写了多元函数的泰勒公式和拉格朗日中值定理(简称中值定理)的形式,从而将多元函数的泰勒公式和中值定理与一元函数的泰勒公式和中值定理统一起来.进一步地,可以由此出发,以一元函数微分学的视角重新认知并理解多元函数微分学.     

定积分分部积分法在微分定理证明中的应用

微分定理在研究函数性质中有非常重要作用,对微分定理进行深入研究具有理论和实际应用意义.应用定积分的分部积分方法,在一定的条件下证明了3个微分定理.同时,应用拉格朗日中值定理给出了牛顿-莱布尼兹公式一种新的证明方法.     

柯西中值定理与拉格朗日中值定理的高阶形式

本文论述柯西中值定理的高阶形式，并,由此推出拉格朗日中值定理的高阶形式。     

关于拉格朗日中值定理的证明

<正> 拉格朗日微分中值定理是微分学的基本定理之一,是微分学应用的基础,它的证明和讨讨是应用极限基本定理的实践,所以直到现在仍有人从不同的角度用不同的方法探讨该定理及哥西定理的推广和证明,本文仅就拉格朗日中值定理的证明略述小仪,同时给出一个简单且与传统方法不一的证明,以便开阔思路。     

微分中值定理证明中辅助函数的构造

由复数x+yi与直角坐标平面上的点(x,y)(x,y∈R)的一一对应关系,将复平面与直角坐标平面看成是一致的,通过复数乘法运算构造出一系列拉格朗日中值定理证明中满足罗尔中值定理条件的辅助函数,并明确指出了柯西中值定理证明中辅助函数的构造方法.     

微分中值定理形象化教学尝试

微分中值定理不仅是沟通函数及其导数之间关系的桥梁,而且是应用导数的局部性质研究函数在区间上整体性质的重要工具.同时,从它出发还可以导出一系列重要的命题和定理,从而使微分学在更广的范围内起着极其重要的作用.因此,微分中值定理是工科数学教学重点之一.然而,一般教科书中,往往是直接陈述出定理内容,紧接着给出定理的证明.尽管条理清楚,但和盘托出结论和证法,又没有配置相应的例题,不免使人感到神秘,从而影响到对定理的真正理解和掌握.这又     

E凸函数的方向导数

在E凸集上,引进E凸函数,定义了广义实值函数的方向导数即沿给定方向的变化率.得到了E凸函数方向导数的特征定理;利用特征定理.得到了E凸函数方向导数的性质.     

数学分析教学中的反例

列举反例作为一种重要的方法,在数学分析教学中起着重要的作用.通过归纳总结,就数学分析中3个重要内容——数列极限、函数导数和函数积分列举了一些重要的反例,从而帮助学生理解和掌握一些较抽象的概念和定理.     

向量优化中值映射的余切上图可微性

考虑参数向量优化问题MinK|f(w,x)|x∈G(w)},其中fW×X→Y是从赋范线性空间W和X的积到另一个赋范线性空间Y的Hadamard可微单值映射,GW→X是一个集值映射,K∈Y$是一个闭凸点锥.借助目标函数的导数和约束映射的余切导数,给出了值映射的余切上图导数的表示.当约束由等式和不等式确定时,借助于拉格朗日映射,给出了值映射的余切上图导数的另一表示.     

一类函数极值问题解法的说明

讨论多元函数的极值或最值问题,常用的方法是利用多元函数极值的充分条件或拉格朗日乘数法,但运算过程往往比较复杂.对其中的某些问题,如果巧妙地利用目标函数或约束条件的几何性质,则解题思路简捷,而且运算简便,是一种求解多元函数的极值或最值问题的有效方法.但在应用这种方法时,往往是凭经验或直觉,而忽略这种方法的理论根据.通过3个定理给出了这种方法的合理性的说明,并且给出了这种方法的应用.     

向量集值优化问题全局真有效解的最优性条件

利用分离定理并借助于集值映射的余切上图导数、Y-上图导数和Clarke正切上图导数，给出了向量集值优化问题取得全局真有效解的3个最优性条件.     

二次型中的介值性定理

<正>介值性定理是闭区间上连续函数的一个重要性质,它在证明不等式、判断方程根等方面具有广泛的应用.本文给出介值性定理应用于二次型中的典型例题,同时在二次型中证明了与介值性定理类似的结论.     

隐函数存在定理证明分析

在数学分析教学中“隐函数存在定理”的证明,是一个较为复杂,不易被学生很快理解和掌握的定理。现把该定理复述如下:定理:设F(x,y)在(x_0,y_0)的邻域内连续,并有连续的偏导数F′y(x,y),如果     

高阶导数求解方法与技巧

<正>导数是微积分学的重要研究对象,熟练地掌握它的计算与应用是微积分教学的主要目标[1-4].在学习这部分内容时,很多学生都会觉得在求解高阶导数时经常出现问题,往往求不出结果.虽然高阶导数是教学中的一个难点,但是解决这类问题是有一定的方法与技巧的,求解高阶导数关键是找到合适的求解方法,这样才能事半功倍.     

零点定理的教学设计

零点定理是数学中一个很重要的定理,也是很多实际应用的理论基础,但是学生往往不清楚如何去应用这个定理.基于此,就零点定理的教学设计给出新的探索,通过引入生活中简单有趣的实例,讲授零点定理的基本思想以及在实际中如何应用零点定理.     

复模糊值函数的导数及其性质

介绍模糊数的概念及运算规则.以及模糊值函数的可导的定义.给出了复模糊值函数的截集和可导及解析的概念,利用模糊数的序关系和分解定理讨论了复模糊值函数导数的性质,得出了复模糊值函数的导数具有线性性及在复模糊值函数可导且复模糊值函数的实部和虚部的导数大于(小于)零的情况下,复模糊值函数的实部和虚部具有单调性.     

样例在泛函分析教学中的应用

结合样例的3种类型,阐述了样例在泛函分析教学中的应用.泛函分析中的样例教学,不仅可以加强学生对基本概念和定理证明的理解,而且有利于学生理解和掌握定理证明过程中所蕴涵的一些重要思想方法,提高分析问题和解决问题的能力.     

关于导数学习中的几个误区

大一学生学习理解导数会有一些误区,经常会犯一些想当然的错误,通过实例或定理对这些错误进行剖析,从而达到使学生深刻理解导数的目的.