方程x4-6px2y2+12p2y4=z2与Aubry猜想

利用Fermat无穷递降法,证明了方程x4-6px2y2 12p2y4=z2与x4 12px2y2-12p2y4=z2在p≡5(mod6)时均有无穷多组正整数解,并且获得了方程无穷多组正整数解的通解公式,从而完善了Aubry等人的结果.     

关于丢番图方程x4+18px2y2+108p2y4=z2

利用Fermat无穷递降法,证明了方程x4+18px2y2+108p2y4=z2与x4-36px2y2-108p2y4=z2在p≡5(mod6)为素数时均有无穷多组正整数解,并且获得了方程无穷多组正整数解的通解公式,同时还编拟了方程正整数解的计算程序,从而完善了Aubry等人的结果.     

关于丢番图方程x4±6px2y2±3p2y4=z2

设p为素数,利用Fermat无穷递降法,研究方程x4±3px2y2+3p2y4=z2与x4±6px2y2-3p2y4=z2正整数解的存在性,证明该方程在p≡5(mod 12)时均无正整数解,在p≡11(mod 12)时有解且有无穷多组正整数解,获得方程无穷多组正整数解的通解公式和方程的部分正整数解.     

关于丢番图方程x4+mx2y2+ny4＝z2(Ⅰ)

利用Fermat无穷递降法,证明了方程x4+mx2y2+ny4＝z2在(m,n)＝(6,±12),(6,30),(-12,-12),(-12,±84)时均无正整数解,并且获得了方程在(-6,12),(±12,12),(12,-12),(±6,6)时的无穷多组正整数解的通解公式,从而完善了Aubry等人的结果.     

关于丢番图方程x2±y4=±z6

利用简洁初等方法,证明了丢番图方程x2±y4=z6,x2+y6=z4,x4±4y4=z3,x4-y4=2z3均无正整数解,方程x4+y4=2z3,(x,y)=1,仅有正整数解x=y=z=1.     

关于丢番图方程x8+my4=z2

利用数论方法及Fermat无穷递降法,证明了丢番图方程x8+my4=z2在m=±p,±2p,±4p,±8p及素数p满足一定条件下无正整数解,从而完善了Mordell等人的结果;并且获得了方程x4-2py4=z2和x4+8py4=z2的无穷多组正整数解的通解公式.     

关于丢番图方程x4+mx2y2+ny4=z2

利用初等数论和Fermat无穷递降法证明了方程x4+mx2y2+ny4=z2在(m,n)=(18,27),(-9,-27).(±9,27),(±18,-27),(18,189),(-36,216)时均无正整数解,并且获得了方程在(m,n)=(士6,24),(±12,-60),(9,-27),(-18,189),(36,216),(-18,27)时的无穷多组正整数解的通解公式,从而完善了Aubry等人的结果.     

关于丢番图方程工x^4＋mx^2y^2＋ny^4=z^2（Ⅲ）

利用Fermat无穷递降法,证明了方程x4+mx2y2+ny4=z2在(m,n)=(±18,54),(36,-108),(±36,108),(±18,-108),(-18,108),(±36,756)时均无正整数解,并且获得了方程在(m,n)=(±6,-24),(±12,132),(-36,-108),(18,108)时无穷多组正整数解的通解公式.     

关于丢番图方程x4+mx2y2+ny4=z2(Ⅲ)

利用Fermat无穷递降法 ,证明了方程x4 +mx2 y2 +ny4 =z2 在 (m ,n) =(± 18,5 4 ) ,(36 ,- 10 8) ,(± 36 ,10 8) ,(± 18,- 10 8) ,(- 18,10 8) ,(± 36 ,75 6 )时均无正整数解 ,并且获得了方程在 (m ,n) =(± 6 ,-2 4 ) ,(± 12 ,132 ) ,(- 36 ,- 10 8) ,(18,10 8)时无穷多组正整数解的通解公式 .     

关于Tijdeman猜想(Ⅱ)

1989年Tijdeman猜想设a,b,c是互素的正整数,m,n,r是大于1的正整数,则方程ax m+by n=cz r在1/m+1/n+1/r<1时仅有有限多组整数解;本文利用数论方法及Fermat无穷递降法,证明了丢番图方程x 8+my 4=z 2在m=±p,±2p,±4p,±8p及素数p满足一定条件下无正整数解,完善了Mordell等人的结果;并且获得了方程x 4-2py 4=z 2和x 4+8py 4=z 2的无穷多组正整数解的通解公式,从而获得了Tijdeman猜想与广义Fermat猜想的研究进展.     

关于丢番图方程x4±5X2y2+5y4=z2

利用初等方法及Fermat无穷递降法,获得了丢番图方程x4±5x2y2+5y4=z2与x4±10x2y2+5y4=z2的正整数解公式.     

关于丢番图方程x4±4y8=pz4

利用初等数论及Fermat无穷递降法 ,证明了丢番图方程x8- 4y4 =pz4 、x4 - 4y8=pz8、6 4x8± y4 =pz4 均无正整数 ;方程x4 +4y8=pz4 除开 p =5仅有解x=y =z=1外 ,其他情形均无正整数解 ,同时还解决了方程x8+my4 =z4 在m =± p ,± 2 p ,± 4p ,± 8p的求解问题     

关于丢番图方程x4±4y8=pz4

利用初等数论及Fermat无穷递降法,证明了丢番图方程x8-4y4=pz4、x4-4y8=pz8、64x8±y4=pz4均无正整数;方程x4+4y8=pz4除开p=5仅有解x=y=z=1外,其他情形均无正整数解,同时还解决了方程x8+my4=z4在m=±p,±2p,±4p,±8p的求解问题.     

关于丢番图方程x~4+dy~4=z~2

利用分解法和无穷递降法研究了一类丢番图方程的解,结果证明了丢番图方程x4+dy4=z2,gcd(x,y)=1,这里d为整数且d≠0,在d=3n及n≡3(mod4)时,无正整数解。     

关于丢番图方程x~4±5x~2y~2 5y~4=z~2

利用初等方法及Fermat无穷递降法 ,获得了丢番图方程x4 ± 5x2 y2 5y4 =z2 与x4 ± 10x2 y2 5y4 =z2 的正整数解公式     

关于Diophantine方程x^2＋y^4=z^5

运用无穷递降法证明了：方程X^4-10X^2Y^2＋5Y^4=Z^2和X^4-50X^2Y^2＋125Y^4=Z^2都没有适合gcd（X,Y）=1以及2｜XY的正整数解（X,Y,Z）．由此推知：方程x^2＋y^4=z^5没有适合gcd（x,y）=1的正整数解（x,y,z）,上述结果解决了广义Fermat猜想的一个特殊情况。     

关于丢番图方程x6±y6=Dz2

设正整数D无平方因子且不被 6k +1形素数整除 ,证明了丢番图方程x6±y6=Dz2 ,(x ,y) =1除开x6±y6= 2z2 仅有解x=y =z=1外 ,其他情形均无正整数解 ;同时获得了方程x6±y6=PDz2 (P为奇素数 )无正整数解的一些判据     

关于丢番图方程x6±y6=Dz2

设正整数D无平方因子且不被6k+1形素数整除,证明了丢番图方程x6±y6=Dz2,(x,y)=1除开x6±y6=2z2仅有解x=y=z=1外,其他情形均无正整数解;同时获得了方程x6±y6=PDz2(P为奇素数)无正整数解的一些判据。     

关于丢番图方程x4±y6=z2与x2+y4=z6

利用初等数论方法证明了丢番图方程x4±y6=z2与x2+y4=z6均没有适合(x,y) =1的正整数解.     

关于丢番图方程x6±y6=pDz2

设p>3是素数,证明了丢番图方程x6±y6=6pz2,x6+y6=3pz2和x6-y6=2pz2均无正整数解;方程x6+y6=pz2和x6+y6=2pz2在p1(mod24)时均无正整数解;方程x6-y6=pz2在p1,7,19(mod24)时无正整数解;方程x6-y6=3pz2在p(≡/)1,19(mod24)时无正整数解;并且获得了以上方程在p≡1,7,19(mod24)时的全部正整数解通解公式, 从而从正面支持了广义Fermat猜想和Tijdeman猜想.