关于Diophantine方程x2+p2=yn的解数的一点注记

设p是奇素数,t∈{3,4,8}.运用初等方法讨论了方程x2 p2=yn适合n>2的正整数解(x,y,n)的个数,证明了该方程至多有1组正整数解(x,y,n)适合n=t.     

关于不定方程y（y+1）（y+2）（y+3）=4p2kx（x+1）（x+2）（x+3）

用初等方法证明了不定方程y(y+1)(y+2)(y+3)=nx(x+1)(x+2)(x+3)在n=4p2k(p为奇素数,k为正整数)时无正整数解(x,y).     

关于丢番图方程(x+1)2+(x+2)2+…+(x+n)2=y2

利用数论方法得到了丢番图(x 1)2 (x 2)2 … (x n)2=y2有正整数解的必要充分条件,证明了当n=25时,无正整数解,当n=49时,仅有正整数解(x,y)=(24,357),当n=121时仅有正整数解(x,y)=(243,3366),同时证明了n=2,11时必有无穷多组正整数解,并给出了无穷多解的通解公式.     

幂比较法在不定方程中的应用

利用幂比较法证明了:①当a为正偶数、b为正奇数时,不定方程a~x-b~y=1最多有1组正整数解(x,y);②方程x~y-(x-1)~z=1仅有正整数解(x,y,z)=(1,s,t),(2,1,t),(r,1,1)和(3,2,3),其中r,s,t为任意正整数且r≥3.同时推出不定方程2~x-3~y=1仅有正整数解(x,y)=(2,1),不定方程2 018~x-2 019~y=1无正整数解以及不定方程3~x-2~y=1仅有正整数解(x,y)=(1,1),(2,3).     

关于丢番图方程(na)x+(nb)y=(nc)z(c=65,89,101)

设a,b,c为两两互素的正整数且满足a2+b2=c2.1956年,Je?manowicz猜测丢番图方程(na)x+(nb)y=(nc)z仅有正整数解x=y=z=2.此利用初等方法证明了:对于任意的正整数n,除去x=y=z=2外,丢番图方程(56n)x+(33n)y=(65n)z,(80n)x+(39n)y=(89n)z和(20n)x+(99n)y=(101n)z无其他的正整数解,即当(a,b,c)=(56,33,65),(80,39,89)和(20,99,101)时,Je?manowicz猜想成立.     

关于Pell数的Diophantine方程x2+Uyn=Vzn

设n是正奇数,Un=(αn+βn)/2.yn=(αn-βn)/2√2,其中α=1+√2,β=1-√2.运用Pell数的算术性质讨论了方程x2+Uyn=Vzn的正整数解(x,y,z).证明了当n≡±3(rood 8)时,该方程仅有正整数解(x.y,z)=(V2n-1.2,4).     

关于丢番图方程(45n)~x+(28n)~y=(53n)~z的解

利用初等方法证明了,对于任意的正整数n,丢翻图方程(45n)x+(28n)y=(53n)z仅有x=y=z=2正整数解.     

关于丢番图方程(45n)x+(28n)y=(53n)z的解

利用初等方法证明了,对于任意的正整数 , 丢翻图方程(45n)x+(28n)y=(53n)z仅有x=y=z=2正整数解.     

关于丢番图方程(65n)~x +(72n)~y =(97n)~z

本文证明了对任意的正整数n,丢番图方程(65n)x+(72n)y=(97n)z仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,2).     

关于丢番图方程x(x+1)(x+2)=2py~n

设p为奇素数.证明了:①若整数n>2,则丢番图方程x(x+1)(x+2)=2pyn仅有正整数解(p,x,y)=(3,1,1);②若整数n=2,则丢番图方程x(x+1)(x+2)=2pyn在p■1(mod 8)时仅有正整数解(p,x,y)=(3,1,1),(3,2,2),(3,48,140),(11,98,210);在p≡1(mod 8)时的正整数解为(p,xn,yn)=(p,16t2n,4untnsn),这里p,un,tn,sn满足sn+2=6sn+1-sn,s1=3,s2=17,tn+2=6tn+1-tn,t1=1,t2=6及pu2n=16t2n+1.