BAER根環与零化子适合鏈條件之詣零環

设A是任意一个环,M是A的指零两边理想(即仅含冪零元素之两边理想),如果剩除环A/M不含有異于0的冪零理想,则说M是A的一个Baer根理想.环A的所有的Baer根理想的交集L(A)仍为环A的一个Baer根理想,R.Baer(1943)把L(A)叫做环A的下根(参看Baer 1943,§1),现在我们简称L(A)为环A的Baer根,并且当A=L(A)时,称A为Baer根环.设B是环A的一个理想(左、右或两边),如果把B看作一个环,而环B为Baer根环时,则说B是A的一个Baer理想.在第一节里,我俩专就Baer根环舆Baer理想来讨论,得到一些关于Baer根环舆Baer理想的此较基本的性质.首先用超窮归纳法证明了:Baer根环的同態像舆子环仍为Baer根环,以及任何环的Baer根恒为Baer根环,这是最基本的     

格环的近似诣零根

本文将环的近似诣零概念推广到格环上,定义了格环的近似诣零根,证明了此根的继承性,得到了ι-q-nil 半单环的结构定理。此外,还证明了格环上的ι-全阵环的近似诣零根是格环的近似诣零根上的ι-全阵环以及对ι-左(右)理想适合极小条件的格环的近似诣零根、ι-Q 根和ι-根的一致性.     

一般環之局部有界理想

设Ω为任意一个环.Ω的一个理想(左、右或两边)A叫做是一个指数有界的诣零理想,如果有正整数n存在,使A中每个元秦x均适合x~n=0.当A是一个指数有界的诣零理想时,则把A中元素的冪零指数的最大数叫做A的上指数.环Ω的一个理想A叫做是一个局部有界理想,如果A含有Ω的一个異於0而指数有界的詣零理想。在第一节中,我们首先证明了:上指数为n(n>1)的诣零理想恆含有上指数为2或3的诣零理想;上指数为3者恒含有上指数为2者;上指数为2的理想则必为若于个(有限或无限个)冪零理想的併集(即定理1-3).其次我们举出一个例子说明理想之指数有界性只是幂零性之必要条件而非充分条件,即使上指数为2亦     

具有极大左零化子理想的Baer-半单纯环

本文讨论了具有一个极大左零化子理想M的Baer-半单纯环Ω的结构。主要结果是: 定理1 M包含Ω的一切诣零单边理想。 定理2 若Ω是近似诣零环且具有一个极大左零化子理想,则必含有非零幂零理想。 附带证明了近似诣零根是传袭根。     

E~G—根与E~G—半单纯环之结构

在环结构理论中,Kthe 根与 Jacobson 根是比较重要的.但是,在一般环中 Kthe根之存在性至今尚未给出证明;Jacobson 根在意义之下又嫌过大.我的老师谢邦杰副教授在一般环中定义了近似诣零根,该根不小于 Kthe 根而小于 Jacobson 根,并与 Baer 根对照地,围绕诣零理想展开了讨论,使笔者受到启发而在本文中定义出一     

幂级数弱McCoy环

引入了幂级数弱McCoy环的概念。证明了:(1)设{Ri|i∈I}是一族环,如果每一个Ri(i∈I)是幂级数弱McCoy环,则∏i∈I Ri是幂级数弱McCoy环;(2)如果环R是一个诣零半交换环,则R[x]是幂级数弱McCoy环当且仅当R是幂级数弱McCoy环;(3)设环R是一个α-相容的诣零半交换环,则R[x;α]是幂级数弱McCoy环。     

环的几个定理的新证明和根的两个定理

谢邦杰证明了环R的上指数有限的诣零右理想必含R的上指数为2的诣零右理想;R的上指数为2的诣零右理想是R的幂零右理想的并集。Herstein证明了满足(xy—yx)~n=0的环的全部幂零元集为环的一个理想(参见文献[3])。本文给出以上两个结果和某些根的存在与结构定理的新证明。此外,本文给出一个环性质是一个根性的充分必要条件和R_n是半单纯环的一个充分条件。     

半幂零环与Levitzki根的一些性质

设M是任意环Ω的一个子环,如果M中任意有限个元素所生成的子环均为幂零的,则说M是一个半幂零子环.当一个半幂零子环M又是环Ω的一个左(右或两边)理想时,则说M是环Ω的一个半幂零左(右或两边)理想(参看Levitzki,J.,1943).按此定义不难依次证明下列这些断言(其中3°-5°之证明可参看谢邦傑1956):1°半幂零环之同态象仍为半幂零环.     

两非环的可解根

文[1]、[2]提出了两非环的概念,建立了两非环的一般理论,引入了两非环的可解根,并在[2]、[3]中对满足一定条件的可解半单纯的两非环得到一些重要结果,证明了满足理想极大条件的两非环的可解根是环的有限个素理想之交.本文对[1]中定义的非结合非分配的环引进了超诣零理想的概念,讨论了超诣零理想在一定条件下为可解理想;对一般的两非环证明了它的可解根等于它的所有素理想之交;并讨论了满足一定条件的两非环的可解根的传袭问题.本文的概念与符号均取自于[1].     

关于Baer根

环M叫做一个Baer根环,如果M的任意非零同态象恒含有非零的幂零理想.环Ω的一个理想A叫做一个Baer理想,如果环A是Baer根环.任何环Ω的所有Baer理想之并集仍为Ω的Baer理想,叫做Ω的Baer根(参看谢邦傑1955,§1).定理1.不含单位元素之环恒可扩张为含有单位元素之环使其Baer根不变.证明.设Ω是一个不含单位元素的环,若将Ω扩张为Ω_0那样的环(参看谢     

含有极小单侧理想单纯环的结构和对本原环同构定理的一点注记

1.设 S 是含有极小单侧理想的单纯环,且其左秩(或右秩)是可列无限维,则 S 可以环同构地嵌入到它的一个子除环上 N 阶几乎是零的矩阵环中.2.引入可列维局部矩阵环的概念,并证明了若 S 是含有极小单侧理想的单纯环,且 S 的左秩(或右秩)是可列维的,则 S 是其子除环上可列维局部矩阵环.3.证明了定理2.3,本原环的同构定理可作为其直接结果.     

關於Kthe問题

Kthe,G.(1930)曾提出问题:右理想适合极大条件之诣零环是否为冪零环?Levitzki,J.(1945)解决了这个问题,但其方法还不夠直接.本文是对此问题给出一个较简的解法.引理1.设B是任意环A的两边理想.若B中含有A的诣零右理想R≠0,则B中必含有A的非0的诣零左理想。证,在R中任取r≠0,由R之诣零性知Ar是A的含于B中的诣零左理想.     

Banach代数中理想概念的推广

推广了Banach代数中的理想概念．定义了半理想证明了：设B为有单位元e的Banach代数,L为B的左（右）理想,则L的Riesz扩张Lr是B的半理想.且,其中{L}为B的极大左、右理想全体．Q为B的广义幂零元全体。并将交换Banach代数中的Gelfand-Mazur表示定理作了部分推广     

非诣零内射模

一个交换环的诣零根若为可除的素理想,则这个交换环称为Φ-环.介绍Φ-环上的Φ-挠模,调查Φ-环上的非诣零内射模与非诣零内射包,同时刻画非诣零半单环.     

关于环的模糊诣零-幂零性

讨论的环均是结合环未必有恒等元.利用模糊方法推广了诣零,(局部)幂零子环和理想的概念,建立了模糊诣零根及局部幂零根.研究了环的模糊诣零-幂零性问题.     

左理想几乎满足链条件的环

本文证明了下述结果: 1.设A为环Ω的一个非诣零左理想。若Ω的含于A的主左理想几乎满足降链条件,则A有非零幂等元。 2.环Ω的诣零左理想L是幂零的充分必要条件是Ω的含于L的左理想几乎满足升链条件;环Ω的诣零单边理想均为幂零的充分必要条件是Ω的诣零左理想几乎满足升链条件。 3.设A为环Ω的一个含于其反单纯根的理想。则A是幂零的充分必要条件是Ω的含于A的理想几乎满足降链条件。 4.左理想几乎满足降链条件的环为指数有界的π-正则环。 5.在理想几乎满足降(或升)链条件的环上,每个超幂零根性S与满足S′≥S的最小特殊根性S′重合。     

环之诣F性

结合环的 Kthe 根,近似诣零根都是由环的元素的冪零性质决定的,在根的存在性证明及其性质的讨论中,元素之若干方即为零,看来是很难推广的一个条件。本文将环之诣零性用一般的诣 E 性来代替之,其中 E 是成根映象(定义见§1),这样就将结合环之两种根——Kthe 根与近似诣零根推广为两类根,诣 E 根与近似诣 E     

关于Unit J-clean环（英文）

一个元素叫做右单位J-clean(左单位J-clean)如果在R中存在一个单位u,使得au(ua)是J-clean的.一个环R叫做右单位J-clean(左单位J-clean)环当且仅当环中的每个元素都是右单位J-clean(左单位J-clean)的.文章得到了以下几个结论:每个J-clean环是unit J-clean环,每个unit J-clean环是unit clean环,每个2-good环是unit clean环,但是以上三个结论反过来就不正确.文章还证明了一个unit J-clean环,那么它是2-good环当且仅当1能表示成两个单位的和.当R是一个阿贝尔环,I是一个R的包含在Jacobson根里的理想,那么R是unit J-clean环当且仅当(1)R/I是unit J-clean的.(2)幂等元关于J(R)可提升.     

Artin环与Noether环

通过讨论满足理想链条件和诣零理想链条件的环之间的关系。得到了Ａｒｔｉｎ环成为Ｎｏｅｔｈｅｒ环的等价条件。其结果如下：（１）设Ｒ为结合环,则Ｒ的右理想极小条件包含右理想极大条件Ｒ的诣零右理想满足极大条件。（２）设Ｒ为非幂零的结合环,则Ｒ的右理想极小条件包含右理想极大条件存在主幂等元ｅ,使ｅ在Ｒ中的右零化子ｒ（ｅ）具备右理想极大条件。     

关于非奇异环

在[1]中已经证明:可换环 R 是非奇异的当且仅当 R 是半素的。我们的结果是定理1 设 R 是零因子可换环,那末 R 是非奇异的当且仅当 R 是半素的。在[2]中已经证明:满足右零化子升链条件的半素环 R 是非奇异的。我们结果是定理2 如果 R 是满足 singR 中的特殊右零化子升链条件的半素环,那末 R 是非奇异的。通过利用严格素右理想的概念,我们还得到定理3 如果{0}是环 R 的严格素右理想,那末 R 是非奇异的。定理4 如果有环 R 的严格素右理想 K 使得 K~∧={0},那末 R 是非奇异的。所有这些结果对于研究半素环与非奇异环之间的关系是有用的。