全纯曲线正规族分担超平面

利用亚纯函数值分布理论和正规族理论、线性代数理论及研究方法,研究了全纯曲线族分担超平面的正规性。设$ \mathcal{F} $是从$ D\subset \mathbb{C} $到${\mathbb{P}}^{3}\left(\mathbb{C}\right) $的一族全纯映射,$ {H}_{0}$和${H}_{l}({H}_{l}\ne {H}_{0}) $是$ {\mathbb{P}}^{3}\left(\mathbb{C}\right) $上处于一般位置的超平面,$l=1,2,\cdots,8 $。假定对于任意的$ f\in \mathcal{F} $满足条件：$f(\textit{z})\in H_l$当且仅当$\nabla f \in H_l=\{x\in {\mathbb{P}}^{3}\left(\mathbb{C}\right): \rhbr \langle x, \alpha_l \rangle=0\}$;若$f(\textit{z})\in H_l $的并集,有$|\langle f\left(z\right),{H}_{0}\rangle|/(\|f\|\|{H}_{0}\|)$大于或等于$\delta $。$0 < \delta < 1 $,$\delta $是常数,则 $ \mathcal{F} $在D上正规。     

涉及导曲线与分担超平面的正规定则

基于值分布和正规族理论以及高等代数相关知识,研究了全纯曲线族及其导曲线分担处于$ t $次一般位置的超平面的正规定则。设$ \mathcal{F} $是一族从区域$ D \subset \mathbb{C} $到${\mathbb{P}}^{N}(\mathbb{C})$的全纯曲线,${H_\ell } = \rhbr \left\{ {{\bm{x}} \in {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}):} \right.\left. {\left\langle {{\bm{x}},{{\bm{\alpha}} _\ell }} \right\rangle = {\text{0}}} \right\}$是$ {\mathbb{P}^N}(\mathbb{C}) $中处于$ t $次一般位置的超平面,${{\bm{\alpha}} _\ell } = {\left( {{a_{\ell 0}},{a_{\ell 1}}, \cdots ,{a_{\ell N}}} \right)^{\text{T}}},{\text{ }}\ell = 1,2, \cdots ,3t + 1$,$ {H_0} = \left\{ {{x_0} = {\text{0}}} \right\} $,$t\geqslant N$。假定对任意的$ f \in \mathcal{F} $满足条件：若$ f(z) \in {H_\ell } $,则$ \nabla f(z) \in {H_\ell } $,$ \ell = 1,2, \cdots ,3t + 1 $;若$f(z) \in \displaystyle \bigcup\limits_{\ell = 1}^{3t + 1} {{H_\ell }}$,则$\dfrac{\left|\langle f(z),{H}_{0}\rangle \right|}{\Vert f(z)\Vert \cdot \Vert {H}_{0}\Vert }\geqslant\delta$,其中,$ \delta \in \left(0,1\right) $且为常数。那么,$ \mathcal{F} $在$ D $上正规。对于$ N = 3 $,$ t = 3,4,5 $的特殊情形,本文有效降低了所分担超平面的个数。     

从属于指数函数的星像函数子类的四阶Hankel行列式

设$\mathcal{A} $表示单位圆盘D={z∈${\mathbb{C}} $ ∶ |z| < 1}内解析且具有如下形式 $f(z)=z+\sum\limits_{n=2}^{\infty} a_{n} z^{n}$ 的函数族. 文章研究了在单位圆盘D上与指数函数有关的解析函数类S_e*: $S_{e}^{*}=\left\{f \mid \frac{z f^{\prime}(z)}{f(z)} \prec \mathrm{e}^{z} \quad(f \in \mathcal{A}, z \in D)\right\}$ 的四阶Hankel行列式H₄(1), 得到其上界估计.     

带变号格林函数的三阶三点边值问题的正解的存在性

应用格林函数的性质和迭代法, 研究了一类具有变号格林函数的三阶三点边值问题 $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} u'\left( t \right) = f\left( {t,u\left( t \right)} \right)\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\left( {t \in \left[ {0,1} \right]} \right),\\ u\left( 1 \right) = 0,u'\left( 0 \right) = u'\left( 0 \right),\alpha u'\left( \eta \right) + \beta u\left( 0 \right) = 0 \end{array} \end{array}} \right.$ 正解的存在性, 其中, f∈C([0, 1]×[0, ∞), [0, ∞)), α∈[0, 1], $\frac{2}{7}$α < β < $\frac{2}{3}$α, η∈[$\frac{2}{3}$, 1). 得到了该边值问题正解存在性的条件.     

J\"{o}rgens-Calabi-Pogorelov 定理的一个推广

本文证明了满足方程 $\det\left(\frac{\partial^{2}u}{\partial \xi_{i}\partial \xi_{j}}\right) = \exp \left\{-\sum d_i \frac{\partial u}{\partial \xi_{i}} - d_0\right\}$ ( 其中 $d_0$, $d_1$,...,$d_n$ 是常数) 的任何光滑严格凸的整体解 $u$ 一定是二次多项式. 我们推广了著名的 J\"{o}rgens-Calabi-Pogorelov 定理.     

无限循环群被有限生成Abel群的中心扩张

设$G$是无限循环群被有限生成Abel群的中心扩张, $T$是$G$的中心$\zeta G$的挠子群. 如果$T$的阶与$\zeta G/(G''\oplus T)$的挠子群的阶互素, 那么 群$G$可分解为$G=S\times F\times T$, 其中 $$ S=\left\{\left( \begin{array}{cccccc} 1&d_1\alpha_{1}&d_2\alpha_{2}&\cdots&d_r\alpha_{r}&\alpha_{r+1}\0&1&0&\cdots&0&\alpha_{r+2}\\vdots&\vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\0&0&0&\cdots&0&\alpha_{2r}\0&0&0&\cdots&1&\alpha_{2r+1}\0&0&0&\cdots&0&1 \end{array} \right)\left| \begin{aligned} \\\alpha_{j}\in \mathbb{Z} \\~\ \end{aligned} \right. \right\}, $$ 这里$d_i$都是正整数, 满足$d_1\mid d_2\mid \cdots \mid d_r$, $F$是秩为$s$的自由Abel群, $T$是有限Abel群, $T=\mathbb{Z}_{e_1}\oplus \mathbb{Z}_{e_2}\oplus\cdots\oplus\mathbb{Z}_{e_t}$, $e_1>1$, 满足$e_1\mid e_2\mid \cdots \mid e_t$, 并且$(d_1, e_t)=1$. 进一步, $(d_1, d_2,\cdots , d_r; s;e_1,e_2,\cdots , e_t)$ 是群$G$的同构不变量, 即若群$H$也是无限循环群被有限生成Abel群的中心扩张, $T_{H}$是$\zeta H$的挠子群. 如果$T_{H}$的阶与$\zeta H/(H''\oplus T_{H})$的挠子群的阶互素, 那么$G$同构于$H$的充要条件是它们有相同的不变量. 显然, 这个结果涵盖了有限生成Abel群的结构定理.     

关于一类四阶偏微分方程解的一个 Bernstein 性质

设$x:M\rightarrow A^{n+1}$ 是由定义在凸域 $\Omega\subset A^n$ 上的某局部严格凸函数 $x_{n+1}=f(x_1,\dots,x_n)$ 给出的超曲面. 我们记 $\rho(x)=\left(\det\left(\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}(x)\right)\right)^{-\frac{1}{n+2}} $. 假设 $(M, g)$ 是一完备的Hessian流形且具有非负的李奇曲率,如果 $\rho$ 满足 $\Delta_{g}\rho=\beta\frac{\parallel\nabla\rho \parallel_g^2}{\rho}(\beta\neq 1)$ , 则 $M$ 一定是椭圆抛物面.     

四阶两点边值问题3个对称正解的存在性

应用广义的Leggett-Williams不动点定理,研究了四阶两点边值问题 $ {{u}^{\left( 4 \right)}}\left( t \right)=f\left( u\left( t \right) \right)\ \ \ \ \ \left( t\in \left[ 0, 1 \right] \right), u\left( 0 \right)=u\left( 1 \right)=0, {u}'\left( 0 \right)={u}'\left( 1 \right)=0 $ 正解的存在性, 其中$f:\mathbb{R}\to \left[ 0, +\infty \right)$连续. 在f满足适当的增长条件下, 得到该问题至少存在3个对称正解.     

Hadamard缺项幂级数及双曲完备极小曲面

基于具有Hadamard缺项的特殊幂级数，研究了一类位于$\mathbb{R}^3 $中2个平行平面之间的双曲型完备极小曲面族。首先得到如下结果：若$h(z) = \displaystyle\sum\limits_{j = 1}^\infty {{a_j}{z^{{n_j}}}}$是一个具有Hadamard缺项的幂级数，其中，$z \in {\mathbb{C}}$，$j = 1,2, \cdots $，且满足给定的3个特殊条件，则对于单位圆盘 $ \Delta $内的任意发散曲线$ \gamma $，有$\displaystyle\int_\gamma {{{\left| {h''(z)} \right|}^2}\left| {{\rm{d}}z} \right|} = \infty$。同时列举出了满足上述条件的具体的解析函数，其次通过选择适当的Weierstrass表示对，并利用上述结论，构造出了位于$\mathbb{R}^3 $中2个平行平面之间的双曲型完备极小曲面族及其具体形式。     

带有导数项的~Neumann~问题正解

本文研究了带有导数项的非线性~Newmann~问题 $$ \left\{\begin{array}{ll} u''(t)+ku(t)=f(t,u(t),u''(t)),\quad t\in (0,1),\\[2ex] u''(0)=u''(1)=0 \\[2ex] \end{array}. \right.\eqno $$ 其中~$0相似文献   

正交投影的子矩阵

设H是n维复Hilbert空间,Q是定义在H上的正交投影.任给H的子空间M,设dim M=r,在空间分解H=M⊕M⊥下,Q=(A B·B D),其中A∈B(M),B∈B(M⊥,M),D∈B(M⊥).利用算子分块的技巧,对空间进一步分解,讨论了Q的子矩阵A,B,D的性质及其之间的关系以及M上的正交投影P与Q之间的关系.得...     

Landau定理在高维复射影空间的推广

利用到复射影空间Pn(C)的全纯映射的正规性和值分布理论,结合Zalcman引理,对单位圆盘到高维复射影空间中全纯曲线的Landau定理进行了研究,得到了如下结果:设f:?→Pn(C)为全纯曲线D1,D2,…,D2t+1为Pn(C)上的2t+1个超曲面且位于t?次一般位置.若对于每一个j=1,2,…,2t+1,f(c)...     

带有强阻尼时滞项的m-Laplacian型波方程解的爆破

研究带有强阻尼时滞项的m-Laplacian型波方程:utt-Δmu-Δu+g*Δu-μ1Δut(x,t)-μ2Δut(x,t-τ)=(u)p-2u解的爆破:当初始能量00,ν>0,t≥0),在(0,t)...     

带有分数阶导数边值条件的分数阶微分方程正解的存在性

讨论了一类带有分数阶导数边值条件的分数阶微分方程■其中,D■是Rimann-Liouvile分数阶导数,η■_i(0,1),0<η₁<η₂<…<η_m-2<1,β■_i[0,∞)。文中给出其格林函数及相关性质,运用凸泛函上的不动点指数定理来计算不动点指数,从而得到了上述边值问题至少存在一个正解的结论。最后通过一个例子说明定理的具体应用。     

广义最小二乘估计的稳健性

讨论了协方差阵未知的椭球等高线性模型中的稳健性问题. 证明当协方差阵在一定范围内变动时, 广义最小二乘估计在一大类损失函数下都是风险最小的估计; 广义最小二乘估计关于协方差阵和损失函数 同时具有稳健性.     

一类一阶周期边值问题多个正解的存在性

本文研究了一阶周期边值问题■多个正解的存在性,其中λ>0是一个参数,a∈C（R,[0,∞）)是一个T-周期函数且∫^T₀a（t）dt>0,f∈C（[0,∞）,（0,∞）)且单调递增.在■的条件下,本文证明存在一个λ^*>0,使当0<λ<λ^*时问题不存在正解;当λ=λ^*时问题至少存在一个正解;当λ>λ^*时问题至少存在两个正解.主要结果的证明基于上下解方法和Leray-Schauder度.