关于方程nΣ（i=1）xi／di≡0（mod1）的解的个数

设ｄ１，．．．ｄｎ是ｎ个正整数，熟知，不定方程的解的个数在有限域Ｆｑ上对角方程的研究中起重要作用，作者分别给出了此方程恰有２组解和恰有３组解的充分必要条件。     

关于方程x_（i）／d_（i）≡0（mod1）的解的个数和有限域上的对角方程

设Ｉ（ｄ＿１…，ｄ＿ｎ）代表方程，解的个数。作者得到了一个计算Ｉ（ｄ＿１，…，ｄ＿ｎ）的减缩定理：Ｉ（ｄ＿１，…，ｄ＿ｎ）＝Ｉ（ｗ＿１，…，ｗ＿ｎ），这里，…，。还得到了Ｉ（ｄ＿１，…，ｄ＿ｎ）的一个非平凡下界．这些结果在有限域的对角方程零点个数的研究中，有重要应用。     

方程Σ（n,i=1）xi／di≡（mod1）的一个注记

设ｄ１，…，ｄｎ是ｎ人正整０九，Ｉ表示方程Σ（ｎ，ｉ＝１）ｘｉ／ｄｉ／≡０（ｍｏｄ１）的解的个数。本文计算Ｉ的两种已知减缩过程间的关系，还改进了Ｌ的下界，这里Ｌ表示当Ｉ〉０时，与其解所对应的Ｉ个正整数Σ（ｎ，ｉ＝１）ｘｉ／ｄｉ中最小者。     

方程sum from i＝1 to n of x_i／d_i≡0（mod1）的一个注记

设ｄ１，…，ｄｎ是ｎ个正整数，Ｉ（ｄ１，…，ｄｎ）表示方程∑ｎｉ＝１ｘｉ／ｄｉ≡０（ｍｏｄ１）（１≤ｘｊ≤ｄｊ－１，ｊ＝１，…，ｎ）的解的个数．本文研究计算Ｉ（ｄ１，…，ｄｎ）的两种已知减缩过程间的关系，还改进了Ｌ（ｄ１，…，ｄｎ）的下界，这里Ｌ（ｄ１，…，ｄｎ）表示当Ｉ（ｄ１，…，ｄｎ）＞０时，与其解所对应的Ｉ（ｄ１，…，ｄｎ）个正整数∑ｎｉ＝１ｘｉ／ｄｉ中最小者     

有限域上四次对角方程ax^4+by^4=c解的存在性

设Fq是特征为p的有限域,d为正整数.对任意的a,b∈F*q,c∈Fq方程.axd+byd=c在Fq上是否恒有解这一问题长期吸引着大量研究者的关注.当d=2时,Cauchy给出了肯定结论.当d=3时,Skolem证明,对任意的素数p≠7,方程.ax3+by3=c在Fq上恒有解;Singh证明,对任意的素数方幂q≠4,方程.ax3+by3=c在Fq上恒有解.本文研究d=4的情形,给出了该方程解的存在性,即当q≠5,9,13,17,25,29时,对任意的a,b∈F*q,c∈Fq,方程.ax4+by4=c在Fq上恒有解.     

有限域上一类方程的解数

给出了计算有限域Ｆｑ上一类方程的解数的简便方法。     

有限域上某些对角方程的解数

设Ｉ（ｄ１…，ｄｎ）表示方程ｘ１／ｄ１＋…＋ｘｎ／ｄｎ＝（ｍｏｄｌ），１≤ｘｉ≤ｄｉ－１，ｉ＝１，…，ｎ的整数解（ｘ１，…，ｘｎ）∈Ｚ＾（ｎ）的个数。作者给出了当Ｉ（ｄ１，…，ｄｎ）＝２，２│ｎ以及Ｉ（ｄ１…，ｄｎ）＝３时，有限域Ｆｑ上的对角方程ｃ１ｘ１＾ｄ１＋…＋ｃπｘπ＾ｄｎ＝０，ｃｊ∈Ｆｑ＾＊，ｉ＝１，…，ｎ的解的数的直接公式，这里ｄｊ│ｑ－１，ｄｊ〉１，ｊ＝１，…，ｎ。     

关于同余式φ（n）d（n）＋2≡0（mod n）

对于正整数ｎ,设ｄ（ｎ）、φ（ｎ）分别是ｎ的约数函数和Ｅｕｌｅｒ函数．又设Ｓ是全体素数和４的集合．本文证明了：当ｎＳ时,如果ｎ满足同余式φ（ｎ）ｄ（ｎ）＋２≡０（ｍｏｄｎ）,则ｎ必为无平方因数正整数．并且由此推出：如果ｎＳ且ｎ适合ω（ｎ）≤３,当２｜ｎ时,２,当２ｎ时,｛其中ω（ｎ）是ｎ的不同素因数的个数,则ｎ不满足上述同余式．     

一个两秩核积分方程实解个数

文中主要是把一个两秩核的任意次积分方程的实连续解的个数问题转化为一个相应的多项式的实根的个数问题,从而通过Sturm定理求得其结果。     

有限群中n阶方程解的数目

研究了有限群中n次方程解的数目，得出结论：若G是v阶群，n是与v互素的整数，给定g∈G，则方程x^n=g在G中有唯一解，于是x1→x^n是G到G的双射。     

关于广义Ramanujan-Nagell方程x2+D=pn的解数

设P是奇素数 ,D是适合p D的正整数 ,当(D ,p) =(2 ,3)或 (3s2 + 1,4s2 + 1) ,其中s是正整数时 ,方程x2 +D =pn 恰有 2组正整数解 (x ,n) ;否则 ,该方程至多有 1组正整数解     

迭代方程的单调连续解

讨论多项式迭代方程的单调连续解的存在性，作者给出了这种解的一种可行的构造方法。     

一组类Rindler真空场方程解

讨论了Ｒｉｎｄｌｅｒ线元中参数α不为常量时满足爱因斯坦真空场方程的可能形式，给出了一组类Ｒｉｎｄｌｅｒ真空场方程解。     

关于有限域Fp上的对角方程

本文证明了以下主要结果:对于丢番图方程除开x_j=0(j=1,…,n)外,无其他的整数解,这里p是一个奇素数,满足p=1(mod 3)或p=1(mod 4)     

复系数Bernoulli微分方程求解公式的应用

利用复系数Bernoulli微分方程的求解公式，给出一类一阶非线性微分方程组的解法。