环的几个定理的新证明和根的两个定理

谢邦杰证明了环R的上指数有限的诣零右理想必含R的上指数为2的诣零右理想;R的上指数为2的诣零右理想是R的幂零右理想的并集。Herstein证明了满足(xy—yx)~n=0的环的全部幂零元集为环的一个理想(参见文献[3])。本文给出以上两个结果和某些根的存在与结构定理的新证明。此外,本文给出一个环性质是一个根性的充分必要条件和R_n是半单纯环的一个充分条件。     

格环的近似幂零根

本文将环的近似幂零概念推广到格环上,证明了格环的近似幂零根与格环的素根、格环的Baer根的一致性,得到了近似幂零半单格环的结构定理,同时还证明了格环的近似幂零根的继承性,得出了近似幂零半单格环的l-理想亦是近似幂零半单格环的结论。     

具有极大左零化子理想的Baer-半单纯环

本文讨论了具有一个极大左零化子理想M的Baer-半单纯环Ω的结构。主要结果是: 定理1 M包含Ω的一切诣零单边理想。 定理2 若Ω是近似诣零环且具有一个极大左零化子理想,则必含有非零幂零理想。 附带证明了近似诣零根是传袭根。     

幂零p.p.-环和幂零Baer环的Ore扩张

研究环的Ore扩张的幂零p.p.性,幂零Baer性和弱Mc Coy性,主要证明了:设R是一个拟IFP和(α,δ)-condition环,则有(1)如果R是幂零p.p.-环,则R[x;α,δ]是幂零p.p.-环;(2)如果R是幂零Baer环,则R[x;α,δ]是幂零Baer环;(3)R[x;α,δ]是右弱M c Coy环。     

Γ—环的一个定理的简证和一个结果

本文给出了[1]中一个定理:“左零因子具升链条件的Γ一环的强谐零单側理想恒为强幂零”的一个简证,并用同样的证明方法得到了如下结果:主左零化子具升链条件的强谐零Γ一环为Baer根Γ一环。     

关于诣零环的一个问题

文献[1]中提出一个问题:是否存在一个指数为n的诣零环不是幂零环?文献[2]给出一例:存在一个指数为2的诣零环不是幂零环.基于文献[1]、[2],本文得到了域F上一个诣零交换代数为幂零代数的一个充分条件.     

具诣零单边理想链条件的环

本文利用诣零半边理想的升链条件,证明了: 假定环Ω具有诣零左理想的升链条件,那末环Ω的任意诣零半边理想K一定是幂零的。本文的结果是有名的Levitzki定理的推广。     

NCI环的多项式环未必是NCI环

环R指的是结合环但未必含有单位元.环R称为NCI环如果当它的幂零元集合N(R)≠0时那么N(R)包含R的一个非零理想.主要研究有关NCI环的性质,证明了存在NCI环R但是R的多项式环R[x]非NCI环,这否定地回答了S.U.Hwang 等人(Bull.Korean Math.Soc.44(2007), No.2) 的一个公开问题.进一步证明了如果环R的多项式环R[x]是NCI环则R是NCI环.此外还证明了存在NCI环但它的幂级数环不是NCI环,而如果环R的幂级数环为R[[x]]是NCI环那么R是NCI环.最后证明了如果环R存在非零的局部幂零理想I那么R的全矩阵环Mn(R)是NCI环.     

关于诣零理想的幂零性

文献[1]中定理3指出:环R中指数为2的诣零左理想A为R的若干幂零左理想的并集。本文证明了当指数大于2时文献[1]定理3的结论不必成立,给出了指数为3时定理成立的一个充分条件。     

亚直既约环及其决定的上根

本文讨论几类亚直既约环的性质,定理1、2分别讨论SzA'sz在[1]中提出的公开问题42.44。定理3、4讨论幂零心的亚直既约环及其决定的上根的性质。I△R表示,是环R的理想,I△·R表示I是R的本质理想,关于本质理想、环类的本质复盖和本质闭的概念     

关于亚直不可约环为体的一个条件

G·Birkhoff 对交换的亚直不可约环得出了“无非零幂零元的亚直不可约环为域”的重要结论[1].傅昶林把[1]、[2]的一些结果推广到某些非交换环上[3],郭元春在[4]中又发展了[3]的一个结果,得到了“设 R 为无非零幂零元的亚直不可约环,其心为 H,若 R 的含于 H 的左理想具降链条件,则 R 为一体”.的结论.本文研究了具左π-正则性质的亚直不可约环,得到的结果是:定理.设 R 为亚直不可约环,若 R 的心 H 不含非零幂零元,且 H 中每一元素是左π—正则的,则 R 为体.     

Her—环与Herstein猜测

本文通过引进(幂零元)左(右)zorn链条件,近似Her—(单侧)理想,k—商环等概念,讨论Her—环的性质,得到一系列结果。有些结果使得文[1]中结果成为其推论,并给出环上Kothe猜测3成立的一个充要条件,由此给出环上Herstern猜测成立的一个充要条件(定理2.2)。     

关于亚直不可约环

自 G-Birkhoff 对交换的亚直不可约环得出了“无非零幂零元的亚直不可约环为域”的重要结论以后,一些文献相继研究了不可交换的亚直不可约环为体的条件。本文推广了[3]、[4]的结果,将[3]中定理1和定理2中的“R 的含于心 H的左理想满足降链条件”削弱为“R 的含于心 H 的左理想满足几乎降链条件”,将定理2中的“R 无非零幂零元”的条件换成“H 中无非零幂零元”,得出同样的结果。又将[4]的“H 中每一元素 a 满足 xa~(n+1)=a~n(x∈R,n∈z~+)的条件拓广成更一般情形:“H 中每一元素 a 均满足 ak=a~mxa~n,(x∈R,K∈Z~+,m,n∈Z~+或其中之一为0)而 m+n>     

幂级数π-Armendariz环

引入幂级数π-Armendariz环的概念,研究了幂级数π-Armendariz环的扩张,证明了如果环R是具有幂零有界指数的NI环,且为α-容许环,则R[x;α]是幂级数π-Armendariz环.同时讨论了幂级数环的幂零p.p.性和弱zip性.     

元素幂生成的理想

讨论模加法子群的有界诣零 -幂零问题 ,推广了 Nagata- Higman定理及关于交换环的元素幂生成的理想的结论     

关于局部幂零的极大子环以及诣零的MHR-环的几个问题

本文主要证明了局部幂零的极大子环是理想。给出了文献中问题30和33的肯定回答以及问题29中关于MHR-环部分的否定回答。     

广义左Hamilton环

若环R的每一非零子环都含有R的一非零左理想,则称R为广义左Hamilton环,简记为GLH-环.本文给出了诣零广义左Hamilton环的元刻划,证明了定理1 诣零环R为GLH-环的充要条件是,(?)a∈R, a≠0,有n∈Z~+使na或na~2为R的非零绝对右零因子.同时给出了诣零GLH-环幂零的一条件,证明了定理2 R为2-扭自由的诣零GLH-环,令R_D={x∈R|P~(n(x))x=0}.若有正整数N,使对任何素数p及(?)~x∈R_p,有o(x)相似文献   

左理想几乎满足链条件的环

本文证明了下述结果: 1.设A为环Ω的一个非诣零左理想。若Ω的含于A的主左理想几乎满足降链条件,则A有非零幂等元。 2.环Ω的诣零左理想L是幂零的充分必要条件是Ω的含于L的左理想几乎满足升链条件;环Ω的诣零单边理想均为幂零的充分必要条件是Ω的诣零左理想几乎满足升链条件。 3.设A为环Ω的一个含于其反单纯根的理想。则A是幂零的充分必要条件是Ω的含于A的理想几乎满足降链条件。 4.左理想几乎满足降链条件的环为指数有界的π-正则环。 5.在理想几乎满足降(或升)链条件的环上,每个超幂零根性S与满足S′≥S的最小特殊根性S′重合。     

格序环的诣零l－理想的幂零性

主要研究结果为：证明了格序环的任一诣零单侧ｌ－理想所生成的ｌ－理想是诣零的；同时给出了格序环的指零ｌ－理想为幂零的一些充分条件     

极大子群的真子群是幂零群的有限群

本文研究极大子群的真子群是幂零群的有限群。为了陈述方便,我们把这一类群称为A类群,并且A类单群总是指非交换的。主要结果是:[定理1]A类单群仅有一个,即交错群A_5。[定理2]A类群全部是可解的,仅除去一种例外的情形,即G/φ(G)=A_5,其中φ(G)是G的Frattini子群。[定理3]阶至少含有四个不同质因子的A类群必定是幂零群。[定理4]设G是阶p~Rq~br~c的A类群,且G/φ(G)≠A_5,G非幂零,那么下述结论之