微分方程奇点指数的几何计算法

引言微分方程的奇点指数从一个侧面反映了微分方程的性质，有时完全决定了奇点附近轨线性态甚至整个方程积分曲线的拓扑结构，所以是微分方程的一个重要指标，计算指数具有重要意义；本文提供一种简单的计算奇点指数的方法．设（Ｐ（ｘ，ｙ），Ｑ（ｘ，ｙ））是平面上给定的可微向量场，以θ记（ｘ，ｙ）处向量的的幅角，Ｄ为某一区域．设ｏ点是向量场（Ｐ，Ｑ）的孤立奇点，Ｌ为含点ｏ的闭曲线，其内无其它奇点，Ｄ为Ｌ所围的区域，Ｄ被曲线Ｐ＝０，Ｑ＝０分成若干以点ｏ为顶点的曲边小扇形Ｄ_ｉ，对应的闭曲线Ｌ被分成了若干弧Ｌ_ｉ；在每…     

R3中三次齐次向量场的一些性质

讨论了Ｒ＾３中三次齐次向量场Ｑ（ｘ）的一些几何性质，特别是这样的向量场诱导出的切向量场ＱＴ（ｘ）在球面Ｓ＾２上的几何结构，如奇点，轨线，异宿 环的几何分布情况。     

R^3中一次齐次向量场的全局拓扑结构

证明了Ｒ＾３中一次齐次向量场Ａｘ延拓到射影空间Ｐ＾３仍然是一次齐次向量场，当且仅当Ａ相似于对角型矩阵，此外，证明Ａｘ在Ｒ＾３中无穷远的流拓扑等价于其切向量场Ａｒ（ｕ１，ｕ２，ｕ３）有单位球面Ｓ＾２上的流；Ａｘ有２６种不同的全局拓扑相图。     

内超实度量空间中的拓扑

用非标准方法了由一内集Ｅ上的超实度量所导出的Ｑ－拓扑与Ｓ－拓扑，给出了这两种拓扑的一些重要性质，：（Ｅ，Ｑ）是完全不加通的且其紧子集都是有限集；Ｇ（ｘ）／关于Ｅ上的Ｓ－拓扑的商拓年刘可度量化且完备的；Ｇ（ｘ）的有界子集Ａ若满足Ａ Ｓ＝拓扑的商空间Ｇ（ｘ的闭子集，则Ａ是Ｓ－紧的，文中还讨论了Ｓ＝拓扑在构造完备空间中的应用。     

某些偏微分算子的非解析亚椭圆性

讨论由向量场的平方和构成的某些二阶偏微分算子的非解析亚椭圆性．所用方法是构造这些算子的奇异解后，将这些偏微分算子的解析亚椭圆性的讨论转化成某些特殊的常微分方程的研究．该构造过程是非常清晰和直接的．而且它涉及到那些带有依赖大参数位势的广义调和振子的第一特征值和第一特征函数的研究，最终获得了如下两个结果：１）令非负整数ｌ，ｋ满足ｌ＞ｋ且ｌ＝２ｋ＋１，则算子Ｐ＝（ｘ）２＋（ｘｋｙ）２＋（ｘｌｔ）２在原点ｏ∈Ｒ３不是解析亚椭圆的．２）对非负整数ｋｉ≥１，ｉ＝１，２，３，…，ｎ，算子Ｑ＝（ｘ）２＋（ｙ）２＋ｘ２ｋ１（ｔ１）２＋…＋ｘ２ｋｎ（ｔｎ）２其中（ｘ，ｙ，ｔ１，…，ｔｎ）∈Ｒｎ＋２，则Ｑ在原点ｏ∈Ｒｎ＋２不是解析亚椭圆的．     

空间偶次齐次向量场的某些性质

本文讨论了偶次多项式齐次向量场和Ｓ２上的导出切向量场之间的对应关系和轨迹的一些几何性质，并证明了Ｑ（Ｘ）不存在极限环．     

临界状态下一阶中立型时滞微分方程的振动性

证明了一阶中立型时滞微分方程［ｘ（ｔ） － Ｐ（ｔ）ｘ（ｔ－ τ）］′＋ Ｑ（ｔ）ｘ（ｔ－ σ） ＝０ 所有解振动,如果ｌｉｍｔ→∞Ｐ（ｔ）＝１ 且ｌｉｍｉｎｆｔ →∞∫ｔｔ－ τＱ（ｓ）ｄｓ＞０,其中Ｐ（ｔ） ,Ｑ（ｔ）∈Ｃ（［ｔ０ ,∞）,Ｒ＋） ,τ,σ∈（０,∞） ．     

微分方程=Q(x,y),=P(x)存在极限环的一个充分条件

有文通过建立适当的比较函数,把Ｆｉｌｉｐｐｏｖ定理推广到更广义的方程ｘ＝ｈ（ｙ）－Ｆ（ｘ）,ｙ＝－ｇ（ｘ）上,讨论了极限环的存在条件．还有文运用了类似的方法,对更为广泛的方程ｘ＝Ｑ（ｘ,ｙ）,ｙ＝Ｐ（ｘ）在Ｑｙ（ｘ,ｙ）≠０条件下进行探讨,得到了其存在极限环的充分条件．本文运用了类似的Ｆｉｌｉｐｐｏｖ变换方法,讨论了方程ｘ＝Ｑ（ｘ,ｙ）,ｙ＝Ｐ（ｘ）在Ｑｙ（ｘ,ｙ）变号的情形下的极限环的存在性和稳定性,得到了相应的一个充分条件．     

超实数域~＊R的拓扑结构

研究了超实数＊Ｒ上的两种常用拓扑──Ｑ－拓扑及Ｓ－拓扑的结构．证明了（＊Ｒ，Ｑ）是完全不连通的；＊Ｒ中的Ｑ－紧集只有有限集；＊Ｒ中的每个银河都是（＊Ｒ，Ｓ）的连通分支；＊Ｒ中每一长度有限的区间（可以不是闭的）都是Ｓ－紧的；以及＊Ｒ／≈既是（＊Ｒ，Ｑ）的上半连续分解，也是（＊Ｒ，Ｓ）的上半连续分解等Ｑ－拓扑及Ｓ－拓扑的一些基本性质．同时也纠正了前人关于Ｑ－拓扑性质的一些错误结论．     

二阶线性中立型时滞微分方程非振动解的存在性

章研究了具正负系数的二阶线性中立型时滞微分方程ｄ＾２／ｄｔ＾２「ｘ（ｔ）＋ｐ（ｔ）ｘ（ｔ－τ）＋Ｑ１（ｔ）ｘ（ｔ－σ１）－Ｑ２（ｔ）ｘ（ｔ－σ２）＝０．（＊）得到了方程（＊）存在非振动解的充分性条件。     

L-fuzzy拓扑空间中加强的Si(PTi)分离公理

在L-fuzzy拓扑空间中利用LF点代替分子、用(A)x∈X,P(x)=1或Q(x)=1代替P∨Q=1引入了两类加强的分离空间的概念,并给出了它们的一些性质.     

矢量场散度和旋度的物理意义

本文首先从流速场V(x,y,z)出发,详细地说明了任一矢量场A(x,y,z)散度和旋度的物理意义。以电学和力学中的简单例子,说明了散度和旋度的计算方法。     

二阶线性向量方程初值问题的奇摄动解

本文应用边界层校正法讨论下述带小参数的二阶线性向量方程初值问题: εy″(x,ε)+P(ε)y′(x,ε)+Q(ε)y(x,ε)=f(x) y(0,ε)=a(ε) y′(0,ε)=b(ε)在一定条件下,获得了解的一致有效渐近展开,并给出了余项估计。     

一类非线性投入产出方程的边界不动点方法

研究一类非线性投入产出方程(I-A)x=c解的存在性与连续性.借助于拓扑度方法建立一个仅依赖于边界条件的不动点定理,得到了仅依靠消耗算子A在向量集X上的边界性质,便可得出非线性投入产出方程(U-A)x=c解的存在性与连续性的结果.利用该边界不动点方法研究非线性投入产出方程具有实际意义,是切实可行的.     

非退化平面系统在平衡曲线附近的轨道结构

讨论平面系统.x=A（x,y）y,·↑y=B（x,y）y在满足非退化条件A^2（0,0）＋B^2（0,0）≠0时,在平衡流形y=0附近轨线的拓扑结构,并对平衡流形y=0上的点附近的一类向量场进行局部分类.     

一类临界增长拟线性椭圆Dirichlet问题的非平凡解

本文对 中有界区域Ω上临界增长拟线性椭圆型方程 的Dirichlet问题,在满足一定的条件下,证明了非平凡广义解的存在性。     

两类算子方程有解的充要条件

本文研究定义于局部凸空间X而取值分别在Hilbert空间Y和X共轭空间X~*的两类算子方程的解的存在性问题,给出了存在解的充分必要条件。