也谈正确理解哥德尔不完全性定理——与陈慕泽先生商榷

就陈慕泽先生对《禁止使用自指代命题》关于哥德尔不完全性定理的质疑提出的批驳做出回应。认为陈先生回避要害,无视作者对哥德尔证明中双重标准之矛盾的分析和揭露,其批驳存在自相矛盾、循环论证和转移辩题的问题。还专门采用陈先生的符号,对哥德尔定理结论1和2的证明进行分析和批判,再次解释哥德尔定理的结论可以完全正确,但应该理解成:哥德尔所构造的不可判定公式违反逻辑,必须禁止在无矛盾的形式系统中使用。同时,还分析了现有主流学派对哥德尔定理结论的种种误解,提出重建逻辑学公理系统的主张。     

哥德尔自指命题与悖论

"可证"的算子用法与谓词用法是严格区分概念层次的结果。"可证"的算子用法是从命题外部来理解"可证"的,而它的谓词用法则是从命题内部来理解的。哥德尔自指命题是否导致悖论,关键在于如何理解"可证"概念。如果把"可证"理解为语句算子,那么哥德尔自指命题就不会导致悖论。否则,如果把它理解为谓词,那么哥德尔自指命题就会导致悖论。     

由"半费之讼"而被误解的"两难推理"

从逻辑的角度考察著名的"半费之讼"所涉及的推理,有很多不同的观点.多数人认为其总前提有问题,有人认为违反了同一律,有人认为违反了矛盾律.但是,还有人认为推理没有逻辑错误,是一个逻辑悖论.无论是否认为它是诡辩,多数人认为其推理在形式上没有问题,属于正式的"两难推理".从推理形式的角度分析"普罗泰戈拉推理"中的诡辩性质,指出其主要问题并不是违反同一律或者矛盾律,而是以偏概全,实施了隐蔽的不等价命题代换,认定它是一个形式错误的推理.     

论经院学者的不可解命题研究

“不可解命题”属于语义悖论范畴。欧洲中世纪经院学者们集中列举和研究了不可解命题的大量变型，并创造性地提出了若干消解这类语义悖论的方案。这些方案最终并没有解决语义悖论中矛盾命题可相互推出这一逻辑难题。但对之重新进行深入挖掘与科学评价仍是十分必要的。     

评雅布罗的“非自涉悖论”及其消解——略论自涉、矛盾、连续体、矛盾定义谬误

批判并消解雅布罗"非自涉"悖论,比较"自涉"与"月亮圆非自涉"悖论,讨论"矛盾"与"连续体",指出塔斯基犯"矛盾定义"谬误,评析皮亚斯的"不当排斥"、赫兹博格"过分自贬"、西蒙斯的"特异点",以及普利斯特的几个论点。     

“三卡悖论”与“说谎者”——解读文兰院士的《解一个古老的悖论》

依据常理,导致"说谎者悖论"的"本语句为假"无论如何算得上是一个句子,因而,文兰院士的说法——"不存在任何句自己说自己为假"似乎有悖常识。然而,这种"自己说自己为假"的"语句"毕竟不是命题(亦即不是非真即假的单义句),而只不过是多义句。正因为如此,所谓"说谎者悖论"纯属源于语言误解之逻辑误用,根本不合逻辑。事实上,我们只消将文兰院士所谓的"句"解读为"命题",将其上述说法解读为"不存在任何命题自己说自己为假",该说法也就不再有悖常识,而易于为人们所接受了。     

浅谈无限与数学的悖论

本文对无限理论与数学中的悖论之间的关系进行探索、指出导致数学悖论的出现是无限理论中存在着逻辑矛盾,并对这些悖论的产生进行具体分析,介绍了数学家们是如何解决这些悖论的,并进一步指出这些问题解决还不令人满意,有待于后人去继续努力。     

对现行形式逻辑中条件命题的讨论

从语言上看,条件命题等非纯真值复合命题与蕴涵命题等纯真值复合命题之间存在着对应关系,但从逻辑语义上看,它们所指谓的客观事件的逻辑结构却根本不同。蕴涵命题等纯真值复合命题的整个命题的真值依赖于基础命题的真值,它是数理逻辑的理论基础;条件命题等非纯真值复合命题的整个命题的真值无需依据基础命题的真值即可确定,它是真正的逻辑科学的重要研究内容。如果无视二者的本质区别,将其混淆使用,会导致数不清的逻辑问题。     

罗素悖论与康托在集合论中的两个失误

分析了罗素悖论与康托的实数集合不可数证明及康托定理S 相似文献   

评张喜安先生的“论文”

<正>《攀枝花学院学报》编辑部:张喜安先生的文章《康托尔集合论存在的矛盾》(《攀枝花学院学报》第26卷第3期,2009年6月)有严重问题,他犯了一个非常简单的逻辑常识性错误。正是这个简单的逻辑错误导致了他对传统理论的"否定"。我们都知道在谓词逻辑中,全称量词和存在量词是互逆的。即命题A:"存在着x,具有性质P(x)"的否定命题﹁A,应当是:"对于所有的x,皆不具有性质P(x)",或者说是:"对于所有的x,皆     

哥德尔不完全定理与数学认知的局限性——基于递归论解读哥德尔不完全定理

哥德尔不完全定理揭示了数学认知的局限性,任何一个含有初等数论及一阶谓词逻辑的形式证明系统中,都存在这样的命题,在此(封闭)系统中,依靠系统中的公理及一阶逻辑演算方法,既不能证明该命题为真,也不能证明它为假。哥德尔在定理的证明中开启可计算理论(递归论)之门,用现在成熟递归论的结果重新认识哥德尔不完全定理,使其变得更容易接受。近年来,机器学习取得突破性成果,由此引发有关人工智能是否可以完全代替人的思维能力等热点问题讨论。针对这一问题,如果承认"人工智能"是在一个交互计算系统中完成的,那么哥德尔不完全定理给出的是否定回答。     

对哥德尔不完全性定理的质疑

[目的]考察Gdel不完全性定理证明的有效性及存在性问题。[方法]以"逻辑先后律"思维原则作为剖析工具,揭示相关观点和论证的错误。[结果]①与Gdel原证法本质上相同的形式化证明,均存在歧义谬误。②关于对哥德尔证明的解释,其错误是,真意指判断句,不可证意指被判断句,即二者并非意指同一命题。[结论]①与Gdel原证法本质上相同的形式化证明,都是无效的;在这类证明的基础上,该定理的相关推论的证明也都是无效的。②既是真的又是不可证的命题是不存在的。③Gdel不完全性定理不可能成立,该定理的相关推论也不可能成立。     

浅谈反例在数学教学中的作用

本文阐述了在数学教学中如何使用反例强化命题的条件,避免定理的错误使用,以及如何使用反例强调相关而不等价的数学概念之间的逻辑关系,避免不正确的演绎。文中给出了一些简明生动的实例,文末总结了数学教学中构造反例的一般思路。     

几类适宜用反证法证明的命题

否定命题判断的相反判断 ,从而肯定原来判断的正确性 ,这种证明法称为反证法。使用反证法的步骤可归纳为 :一、假设命题的结论不成立 ,即命题结论的否定方面成立 (每个否定方面均应考虑到 ) ;二、以命题的否定方面作为条件进行推理 ,得出和已知条件、公理、定义和定理等相矛盾或自相矛盾的结论 ;三、确认命题的所有否定方面不能成立 ,从而肯定命题的结论成立。哪些命题适宜用反证法证明 ,要一般地回答这个问题是不容易的 ,也不是绝对的 ,在此 ,提出如下几类适宜用反证法证明的命题 ,仅供参考。(一 )当命题含有涉及到各种“无限”形式的结论…     

逻辑基本规律及其应用

该文根据亚里士多德对逻辑基本规律的论述和它们的现有表述创造性地提出了新表述,新表述分为三个组成部分,一是公式,二是客观规律,三是思维法则。该文同时提出了广义矛盾律的概念。同一律适用于词和命题,而矛盾律和排中律仅适用于矛盾命题,广义矛盾律适用于互斥性命题。表达逻辑基本规律应以客观的语言形式（词和命题）为基础,而不是以主观的思想事物（概念、判断、推理）为基础。该文利用逻辑基本规律一劳永逸的解决了说谎者悖论和罗素悖论。集合是元素的联合体,元素与集合具有本质的不同,集合不能以集合作为元素。结构“A的A”是语言中的谬误,在科学中应予以清除。     

一个假命题反例的构造

怎样去构造一个反例,说明一个命题是假命题,在数学的教学中有着相当重要的地位,也是教学的一个难点。比如命题"有一组对角及一组对边相等的四边形是平行四边形"是假命题时,其反例就不易找到。     

"阿基里斯"悖论探析

将芝诺"阿基里斯"悖论与龟兔赛跑的故事相联系,以亚里士多德和黑格尔对芝诺的反驳为引子,给出了代数和极限方法的证明;指出应避免为抽象而抽象、混淆实际步骤和虚拟步骤、混淆步骤无限和时间无限以及不将经验方法与推理方法相结合等错误;指出了芝诺"阿基里斯"悖论的本质.     

主体性诉求与毛泽东文艺思想的召唤力

后发现代化国家的悖论性处境表现为一方面要实现以西方为蓝本的现代化,另一方面又要反西方以实现自身的主体性,这一悖论性处境导致现代中国文学处于一种丧失自我与寻求自我的矛盾中。毛泽东文艺思想所指涉的民族国家想象为这一矛盾的初步解决提供了一个可能的方案。这一方案对彷徨于启蒙与启蒙的主体性这一矛盾中的现代作家产生了相当的召唤力,并导致众多现代作家服庸于这一政策之下。     

分析命题与综合命题之辨——对奎因论证的证伪

对分析命题和综合命题进行一番历时性梳理,剖析奎因在论证上的偏颇之处:其一,混淆了定义与同义词之间的界限;其二,扩大了同义词的范畴;其三,错误地将词项同义的条件限定在满足"所有语境"的情况下,从而得出结论奎因对形而上学的批判并不构成挑战。     

关于交易均衡分析的一个错误模型和推导

指出厉以宁主编的《西方经济学》中所给出的"关于交易的一般均衡条件及其相关的数学模型"的问题和错误,认为厉以宁概念表述中存在着含混不清和其他一些错误.认为在其关于所谓"效用最大化"的均衡点的求解和证明中,存在着将充分条件和必要条件混为一谈、将命题与结论混为一谈的逻辑错误.分析该教材所构造的数学模型,指出其中存在的意义解释方面的各种错误,并对相关模型给出了必要的修正.