关于Golomb猜想

Golomb 猜想为:在任何有限域 GF(p~n)中总存在两个本原元,它们的和等于1.张肇键和 I.S.Reed 证明了在某些类型的有限域中 Golomb 猜想成立.本文的目的是证明比[2]的定理3和定理5更强的定理,对更多一些特殊情况证实 Golomb 猜想,我们将利用下列引理.引理1 设 q_1,q_2,…,q_k 为 p-1的所有不同的奇素因子,则素数 p 的平方非剩余 g 为 modp 的原根的充分必要条件是 g~((p-1))/2_(gi)(?)-1(1≤i≤k).引理2 设 p=2q+1,p,q 均为奇素数,则从 p 的全部平方非剩余中去掉p-1后全部是 modp 的原根.     

关于Golomb猜想

Golomb 在中猜想:任意有限域 GF(p~n)中都存在二本原元α和β,使α+β=1(1为域 GF(p~n)之单位元).文就 n=1给予 Golomb 猜想部分证明,本文对任意正整数 n 给予 Golomb 猜想部分证明,本文的结果包含了文中的结果.定理1 p 为奇素数,p~n-1=2ap_1~a1…p_s~as(n,a_1,…,a_s 均为正整数 p_1,…,p_s为互异的奇素数,a≥2,s≥1),且(1-(1/p))>2/3,则有限域 GF(p~n)中必有     

关于连续原根的分布

设p为素数,f(x)∈Fp[x]的次数为D≥1。设整数k≥2,l1,l2,…,lk是Fp中互不相同的元素.假设下列条件至少满足一个:(i) f(x)不可约;(ii) f(x)在F珔p没有重根,D p以及k=2;(iii) f(x)在F珔p没有重根,以及(4k)Dp。文中证明对任意素数pmax{e23k,(kD)27},都存在n∈Fp,使得f(n+l1),f(n+l2),…,f(n+lk)都是模p的原根。     

正整数被素数p整除的判别法

设p是素数且p≠2,5,|k|是满足10k≡1(mod p)成立的最小正整数,Mn=n∏i=010iai(0≤ai≤9,i=0,1,…,n,an≠0).运用数学归纳法证明了:若对?i=0,1,…,n-1,有bi+1=kci+ai+1,bi+1≡ci+1(mod p),其中c0=a0,|ci+1|≤p-1/2,则p|Mn?p|bn.     

ON THE CONJECTURE OF GOLOMB(Ⅱ) 关于Golomb猜想(Ⅱ)

本文证明了: 定理1.若p=2~αoq_1~αq_2~α2…q_m~αm+1,α_0≥2,且multiply from t=1 to m qi-1/qi>2/3, 则在有限域GF(p)中,Golomb猜想成立。推论.设p=2~α0q_2~α2…q_m~αm+1,α_0≥2, ①若m=1,则当q_1>3时: ②若m=2,则当q_2>q_1>3时; ③若m=3,则当q_3>q_2>q_1>5时,在有限域GF(p)中,Golomb猜想成立。定理2.若p=2~α03~α1,α_0≥2,且模p的最小正平方非剩余不是原根,则在有限域GF(p)中,Golomb猜想成立。     

关于丢番图方程x3+y3=pDz2

设p≡5(mod6)是素数,D是无平方因子且不被p和6k+1形素数整除的正整数,运用初等数论方法,获得了丢番图方程x3+y3=pDz2在D=1,2,3,6时全部整数解的通解公式及其解的深刻性质,从而推进了广义Fermat猜想与Tijdeman猜想的研究进展.     

关于丢番图方程x3+y3=pDz4

设p≡5(mod6)是素数,D是无4次方因子且不被p和6k+1形素数整除的正整数,运用数论方法,获得了丢番图方程x3+y3=pDz4在D=1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,27,36, 54,72,108, 216时无整数解的充分条件,从而推进了广义Fermat猜想和Tijdeman猜想的研究进展.     

关于Tijdeman猜想(Ⅰ)

设p≡ 5 (mod 6 )是素数 ,D是无平方因子且不被p和 6k +1形素数整除的正整数 ,运用初等数论方法 ,获得了丢番图方程x3 +y3 =pDz2 在D =1,2 ,3,6时全部整数解的通解公式及其解的深刻性质 ,从而推进了广义Fermat猜想与Tijdeman猜想的研究进展 .     

TayLor定理的再改进

S.W.Golomb提出猜想[1]:在任何有限域中总存在两个本原元素α和β适合关系α+β=1。并给出于Taylor定理:若p=2~mr+1和r都是奇素数,则r>2~(m-1)+2时,该猜想在GF(p)中成立。[2]中证明了:若p=4 p_1+1和p_1都是奇素数,则该猜想在GF(p)中成立。[3]中证明了:若p=2p_1+1和p_1都是奇素数,则该猜想在GF(p)中     

广义Lehmer数的渐近行为（英文）

整数a称为模p的Lehmer数是指1≤a≤p-1且a+a~(-1)为奇数,其中a~(-1)表示a模p的逆.令M_p为模p的Lehmer数的个数.1994年,张证明了■.设整数c≥2,整数d∈[0,c-1].对每个素数p≡1(mod c),如果a+a~(-1)≡d(mod c),则称整数a为关于模p的(c,d)-Lehmer数.令M_(c,d,p)表示模p的(c,d)-Lehmer数的个数.本文得到■,推广了张的结果.