无穷小量的命运及对数学发展动力的思考

近代力学的需要催生了无穷小量.历史上的数学家对无穷小量作了各种解读,试图论证它存在的合法性,以使微积分严密化,都没有成功.在19世纪末的数学公理化运动中,极限取代了无穷小量成为微积分的基础.无穷小量的曲折历史使人们认识到:数学有效性并不必须由其真理性来保证,数学家的信仰是数学发展的精神动力.近代数学家经历了从信仰上帝到信仰自然再到信仰数学内部的逻辑美的过程,数学家的任务也经历了从解决上帝、自然和数学三者之间的矛盾到解决自然和数学两者之间的矛盾,再到解决数学内部的矛盾过程.哥德尔不完备性定理抽走了数学家的逻辑美信仰,数学界出现了信仰危机.     

“非标准分析”的逻辑建构及其后现代数学方法论意蕴

微积分作为人类伟大的数学创造,其知识获得合法性的过程颇为曲折。无穷小量方法由于自身的悖论而被严格化的ε-δ方法所取代。在模型论基础上,鲁滨逊创立的"非标准分析"作为微积分知识的一种新的逻辑建构,深刻地展现了数学知识创造的多元主义方法论。从"标准分析"到"非标准分析",一种具有广深差异性的数学知识范式正在形成,微积分也完成了其历史进程与逻辑建构的相互统一。     

莱布尼兹:微积分学中的理性倾向

几乎没有人否认莱布尼兹和牛顿在发明微积分上的差别,这种结论见于各种数学通史中。但是真正指出差别的本质所在,还需对两人的数学思想做专门化研究,而这在以往的科学思想史著作中是十分薄弱的。本文的目的旨在通过对莱布尼兹微积分思想中理性要素的初步分析,指明这一学说的特点和意义,以期为现代数学哲学的研究提供某些启示。 微积分思想有着悠久的历史。无论是古希腊的朴素原子论与抽象逻辑方法,还是东方哲学与数学中的分割术都可看成它的最初起源。但在理论上真正为这种学说奠定基础的应是笛卡尔把变数引进数学。从此,不仅平面上的点与曲线建立了对应关     

分析算术化的历史回溯

十九世纪分析学理论基础的重建，揭开了蒙在极限和无穷小概念上的神秘面纱。而极限的运算需要一个封闭的数域，正因如此，分析中注入严密性最终归结为构造完备的数域，从而被称为“分析算术化”(the Arithmetization of Analysis)。分析学这一历史性的革命，不仅为数学分析的进一步发展奠定了稳固的基础，而且对整个近代数学的发展，产生了深远的影响。     

对微积分中辩证法的认识

本文通过对话形式，以微分三角形的弧弧同一或曲直等同，曲边梯形与“诸矩形元素之总和”及回转体体积与“诸元圆柱之总和”如何达到极限同一，δ－ε语言如何把握潜无穷的逻辑确定性，数学中包括微分与积分在内的各种对立运算如何辩证地相转化，以及关于微分方程的否定之否定等丰富案例，并且借助于数学与逻辑之间的巧妙类比，试图多视角多层次地阐明微积分的辩证法内涵。     

萨本栋的数学思想

萨本栋的学术贡献无疑主要在物理、机电领域,但在数学方面也做出了开拓性的工作.在美国攻读博士期间,他便把美国人安顿利(Anthony)和亚斯利(Ashley)著述的<画法几何学>翻译成了中文,1926年经商务印书馆出版后,被选为高级中学普通科用书.在厦门大学教授微积分期间编撰的<实用微积分>,经编译馆审定后,成了大学教本.在抗战期间,他设计的七股算仪,更是大大简化了繁难的数学运算.树立了他学术地位的著作<并矢电路分析>,其实是数学、物理、机电三学科交叉领域的综合应用.     

清代中算家的递加数

级数论是有清以来传统数学的主流，通过对递加数的研究，可加深了解其中的情节。递加数是清代中后期级数论中的重要内容，清代中算家为此做了大量的工作。该文依据原著，递归地描述其生成模型，在此基础上对递加数进行了比较充分的讨论，表明它是产生于割圆连比例并用以确定一类无穷幂级数展开式系数的一种递归过程，从而试图反映出清代级数论所固的递归特性。     

试谈微分学的揭秘问题

微分学采用的是"纯粹数学"的抽象研究方法,尽管能得到正确结果,却变成"神秘的东西".这种神秘性是科学尚未从神学中解放出来的象征,现在是彻底揭开这个秘密的时候了.地球和太阳系是在时间进程中形成的.微分现象是物质运动的规律性在人们头脑中的反映.微分的运算过程是"否定之否定".变数的数学-微积分本质上说是辩证法在数学方面的运用.     

Space对应的汉语名词

Ｓｐａｃｅ是个多义词。在不同学科和不同领域 ,诸如哲学、数学、物理学、宇宙学、天文学、计算科学、航天和宇航等等 ,都有ｓｐａｃｅ的身影 ,但它们的内涵却不尽相同。与之对应的汉语词 ,主要是“空间”和“太空”。有时二者同义 ,可以混用 ,有的则完全有别 ,不容混淆。在哲学领域 ,对应的汉语词是“空间”、“空”、“宇”等。例如 ,时空 (ｓｐａｃｅ ｔｉｍｅ)、无限空间 (ｉｎｆｉｎｉｔｅｓｐａｃｅ)、空间本原 (ｔｈｅｎａｔｕｒｅｏｆｔｉｍｅ)。这里的ｓｐａｃｅ没有尺度大小的限制 ,对应的汉语词决不能用“太空”。在数学内 ,对应…     

从文化史的角度看近代微积分效用的神秘性

近代微积分效用的神秘性不仅是数学自身原因造成的，更为重要的是文化秩序调整的产物。启示于柏拉图主义，近代文化通过逻辑审美特征来为数学和理性知识辩护。数学逻辑审美特征的虚幻性造成了近代文化内在根基的虚幻性和外在合法性的悖论性质，使得不严密的近代微积分处于尴尬境地，导致了人们对其效用合法性的怀疑与不理解。     

吉利斯的概率哲学理论述评

英国哲学家吉利斯的主要研究领域为概率基础、逻辑哲学与数学哲学,对概率哲学的学习和研究至今已有四十余年。在吉利斯关于概率哲学的研究中,他对当今各种主要的概率解释都给予过深刻的检视。他对这些概率解释所面临的困难的讨论使他得出了自己关于概率这个概念的相当具有原创性的见解。本文试图勾勒出吉利斯的概率哲学理论的一个基本轮廓,并对其中的一些观点给予分析和评价。     

Is Leibnizian Calculus Embeddable in First Order Logic?

To explore the extent of embeddability of Leibnizian infinitesimal calculus in first-order logic (FOL) and modern frameworks, we propose to set aside ontological issues and focus on procedural questions. This would enable an account of Leibnizian procedures in a framework limited to FOL with a small number of additional ingredients such as the relation of infinite proximity. If, as we argue here, first order logic is indeed suitable for developing modern proxies for the inferential moves found in Leibnizian infinitesimal calculus, then modern infinitesimal frameworks are more appropriate to interpreting Leibnizian infinitesimal calculus than modern Weierstrassian ones.     

物理学基本定律的独立性之争及其反思

理论公理化的一个重要问题是公理的独立性问题.考察公理化最为发达的物理学中关于独立性问题的争论,可以看出,自然科学的公理独立性问题不同于逻辑学和数学,有自身独特的方法论价值.     

科技人员的压力分析及压力管理

随着社会变化和竞争的日益加剧,科学技术研究人员感到来自各方面的压力越来越大,如何认识和解决这一问题,具有重要的理论探讨和应用价值.本文根据科技创造心理学和压力管理理论,运用逻辑推理分析方法对科学研究人员的压力进行理论分析,并提出了若干管理对策.     

索引词研究的逻辑哲学意蕴及其启示

与一般的语词和语句不同,索引词有特殊的内涵和外延,含有索引词之句子的真假与特定的语境相关;在一门语言中,索引词既不能被完全取代、也不能被全部消除。从逻辑哲学的角度研究索引词,不仅可以丰富传统的意义理论和指称理论,拓宽语言逻辑的研究范围,而且有助于解决语用悖论。     

Towards a Theory of Mathematical Argument

In this paper, I assume, perhaps controversially, that translation into a language of formal logic is not the method by which mathematicians assess mathematical reasoning. Instead, I argue that the actual practice of analyzing, evaluating and critiquing mathematical reasoning resembles, and perhaps equates with, the practice of informal logic or argumentation theory. It doesn’t matter whether the reasoning is a full-fledged mathematical proof or merely some non-deductive mathematical justification: in either case, the methodology of assessment overlaps to a large extent with argument assessment in non-mathematical contexts. I demonstrate this claim by considering the assessment of axiomatic or deductive proofs, probabilistic evidence, computer-aided proofs, and the acceptance of axioms. I also consider Jody Azzouni’s ‘derivation indicator’ view of proofs because it places derivations—which may be thought to invoke formal logic—at the center of mathematical justificatory practice. However, when the notion of ‘derivation’ at work in Azzouni’s view is clarified, it is seen to accord with, rather than to count against, the informal logical view I support. Finally, I pose several open questions for the development of a theory of mathematical argument.     

试论刘徽的数学思想方法

本文从三个方面论述了刘徽的数学思想方法:(1)刘徽的极限思想及其关于研究刘徽极限思想方法中的值得商榷的问题;(2)刘徽的数学方法——定义方法和证明方法及其特点和意义;(3)刘徽在数学研究中体现出来的科学精神。     

Agnostic Science. Towards a Philosophy of Data Analysis

In this paper we will offer a few examples to illustrate the orientation of contemporary research in data analysis and we will investigate the corresponding role of mathematics. We argue that the modus operandi of data analysis is implicitly based on the belief that if we have collected enough and sufficiently diverse data, we will be able to answer most relevant questions concerning the phenomenon itself. This is a methodological paradigm strongly related, but not limited to, biology, and we label it the microarray paradigm. In this new framework, mathematics provides powerful techniques and general ideas which generate new computational tools. But it is missing any explicit isomorphism between a mathematical structure and the phenomenon under consideration. This methodology used in data analysis suggests the possibility of forecasting and analyzing without a structured and general understanding. This is the perspective we propose to call agnostic science, and we argue that, rather than diminishing or flattening the role of mathematics in science, the lack of isomorphisms with phenomena liberates mathematics, paradoxically making more likely the practical use of some of its most sophisticated ideas.     

论中国逻辑与中国传统数学

中国传统数学受到了中国逻辑尤其是墨家逻辑的影响,形成了自己的推理方法体系--以"以类合类"为方法论基础,以"类"和"分类"为推理的核心成分,以"推类"为主导推理范式.这一方法体系,在相当长的时期内使中国传统数学处于世界的领先地位,因此,可以下这样的结论:中国逻辑不是阻碍中国传统数学进一步发展的因素,中国传统数学自身逻辑思路也不是制约中国传统数学发展的原因.