关于丢番图方程p~x+(p+1)~y=z~2

设p,q是奇素数,s是非负整数。利用初等方法中的同余、二次剩余、不等式法与Scott(1993年)的结果,证明:如果p≡1(mod4),p=2q~s-1,q≡3(mod4),s是正整数,则丢番图方程p~x+(p+1)~y=z~2仅有正整数解(p,x,y,z)=(5,4,3,29);如果p≡3(mod8),p=4q~s-1,则当q≡5,7(mod8),s是正整数时,上述方程无解;而当q≡3(mod8),s为非负整数时,上述方程仅有正整数解(3,2,2,5),(11,2,3,43)。     

关于Diophantine方程x~3±1=3py~2

利用初等数论的方法证明了:如果p是适合p≡3,7(mod8)的奇素数,则方程x3-1=3py2无正整数解;如果p是适合p≡7(mod8)的奇素数,则方程x3+1=3py2无正整数解.     

丢番图方程X~4-DY~2=1~(Ⅲ)

关于丢番图方程x~4-Dy~2=1,D>0且是非平方数(1)文[1]中给出了若干结果,本文采用另一种方法改进了那里的一些结果,给出了定理1 设D≡7(mod8),D=P_1P_2…P_sS≥2,P_i(i=1,2,…,S)是不同的奇素数,则在 1) P_1≡1(mod4),P_i≡3(mod4)(i=2,…,S)且对某个i,2≤i≤S,((Pi)/(P_1))=-1,或 2) 2P_1=a~2 b~2,a≡±3(mod8),b≡±3(mod8)和P_1≡3(mod4),(i=2,…S)时,丢番图方程(1)均无正整数解。定理2 设D=2P_1…P_s,S≥2,P_i(i:1,2,…S)是不同的奇素数,则当 1) 2P_1=a~2 b~2,a≡±3(mod8),b≡±3(mod8)和P_i≡3(mod4)(i=2,…,S),或 2) P_1≡5(mod8),P_1≡3(mod4)(i=2,…,S),或 3) P_1≡1(mod4),P_i≡3(mod4)(i=2,…,S),且对某个j,2≤j≤S,((P_i)/(P_1))=-1时,     

利用环Z/pkZ上矩阵的标准型构作卡氏认证码

设R是有限局部环Z/pkZ,这里p是素数,p3,p≡1(mod12),或p≡7(mod12),且k1.利用环R上特殊矩阵的相似标准型构作了一个卡氏认证码,并计算出该认证码的所有参数,进而假定编码规则按照统一的概率分布所选取,该码的成功伪造与成功替换的最大概率PI与PS亦被计算出来.     

关于丢番图方程x5+y5=DZ2

设D为无平方因子且不含10m+1形素因子的正整数,p≡1(mod10)为素数,利用简洁初等方法获得了方程x5±1=Dz2的全部解;证明了方程x5+1=pDz2,p≡1,5,D(mod8)和方程x5-1=pDz2,p≠1,5,-D(mod8)均无Z≠0的整数解;方程x5+y5=Dz2适合(x,y)=1,z≠0的整数解满足2×z,3×D,5×Dz,并且当2|x时,8|x,D≡ y(mod8).     

一类奇完全数的Euler因子

设n=pα32βQ2β是奇完全数,其中p是奇素数,且p≡α≡1(mod 4),(p,Q)=1=(3,Q)=1,p是n的Euler因子.本文证明了:σ(m2)≥35pα,其中m2=32βQ2β,σ(m2)是m2的全部约数的和.     

关于Diophantine方程x~3±1=3Dy~2

利用数论中同余及其它一些方法研究丢番图方程x3±1=3Dy2(其中:D=2αqp,q,p均为奇素数,α=0或1,q≡5(mod6),p=12r2+1,r是正整数)的解的情况.证明了该丢番图方程无正整数解.推进了该类三次丢番图方程的研究.     

关于分圆多项式的一个问题

对于奇素数P和正整敦n,设f(p,n)=1 pn p2n … p(p-1)n.该文证明了:如果p=1(mod 4),f(p,n)必为合数;如果P=3(mod 4),则当n不是p的方幂或者1时,f(p,n)必为合数.     

关于指数Diophantine方程ax+by=cz的一个猜想

设r是大于1的正奇数,m是偶数.设Ur,Vr是适合Vr+Ur√-1=(m+√-1)r的整数,又设a=|Vr|,b=|Ur|,c=m2+1.证明了当a≡2(mod 4),b≡3(mod 4),m≥41r3/2时,方程ax+by=cz仅有正整数解(x,y,z)=(2,2,r).     

关于某一类同余式解的注记

同余式的解的存在性以及解数的问题是初等数论中传统而又核心问题.研究同余式xk≡a(modp)解的问题,其中p=kl+2(k,l∈N)为素数,满足(a,p)=1.给出了解存在的充分必要条件以及解数.