关于渐近稳定性的两个V泛函(函数)方法

稳定性理论中采用李雅普诺夫第二方法通常要求V≥u(|x|)或V定正,甚至还要求方程右端函数f有界(如专著[1][2]的有关定理).本文采用两个V泛函(或V函数)的方法去掉了这两方面的限制,建立了滞后型与中立型泛函微分方程、常微分方程的渐近稳定与一致渐近稳定的若干充分条件,对于一个V泛函(或V函数)的情形,本文推论改进了[1]第五章定理2·1、第十二章定理7·1及[2]之定理1·14、文[3]推论5·1的相应结果,并省略了这些有关结果中V≥u(|x|)的条件,同时,由本文定理1·6还可推出常微分方程稳定性理论中若干著名的结果,如文[3]中所述定理2·1、2·2及定理3·1、3·2.     

一类非线性Volterra积分微分方程的稳定性

利用Liapunov泛函V（t，x（·）），讨论一类非线性Volterra积分微分方程的解的稳定性与有界性，改进了文献[1]中相应稳定性的条件。     

微分——差分方程(包括中立型)稳定性的基本理论

本文首先找到‖x(t)‖,‖x(t-△(t))‖,‖x′(t))‖,‖x′(t-(t))‖(△(t)=△_(is)(t),(t)=_(is)(t),i=1,…,n;s=1,…,m)的关系(在过去的资料中尚未见到),这关系对研究中立型的稳定性很重要。利用这关系于V函数法,就避免(dV/dt)≤0之条件(满足这条件之V函数是难求的,在文[3]P.63中已指出),而得到适应范围广泛,判定简单的代数方法。利用这关系于参数变易法,我们得到包括文[4]定理3之结果,且对一般非线性中立型方程我们得到稳定的、渐近稳定的、及不稳定的充分条件,还得到一般滞后型方程大范围稳定的充分条件。     

具无穷时滞的泛函微分方程的有界性

本文首先改进了“一致健忘”的泛函的定义,然后给出了泛函微分方程x′(t)=F(t,x(·))的解为一致有界及一致最终有界的条件。主要定理为:定理2.假设存在一致健忘的 Liapunov 泛函 V(t.x(·)),楔函数 W_i(r)(i=1,2,3)以及可微楔函数 W(r)和正数 U>0,使得1) 对于t≥a 以及任意连续函数 x(t),0≤V(t.x(·))≤W_1(|x(t)|)+W_2(‖x‖~(a、t),2) 当t≥t_o,t_o≥a 以及|x(t)|≥U 时,有V′_(1)(t,x(·))≤-W_3(|x(t)|)-|W′_(1)(|x(t)|)|,3) (?)[2W(r)-W_2(r)]=∞。则(1)的解是一致最终有界的。本文还将上述结果应用于一类非线性 Volterra 积分微分方程上去,得到有意义的结果。     

泛函微分方程稳定性的V函数法

Liapunov函数V(t,x)方法是研究泛函微分方程稳定性的一个重要方法.但过去用这方法时,都要用到P函数,即满足Razumikhin条件之P函数,而P函数很难求[1],[2].本文虽同样用V(t,x)函数,但并未用到P函数,这不但避免求P函数的困难而且在求断近稳定时适应范围更为广泛.     

泛函微分方程的Lipschitz稳定性

本文利用文[1][2]的思想方法,提出了泛函微分方程的(变分)LipschitZ稳定性的若干概念,并借助于积分不等式以及线性(或非线性)常数变易公式,讨论了泛函微分方程的(变分)Lipschitz稳定性,获得了若干新的结果.1.设D为R×C的子集,f:D→R~n是给定的函数,考虑泛函微分方程x′(l)=f(l,x_l)(l.1)x_t_0=φ_0,-r≤θ≤t_0·1.首先,我们给出泛函微分方程的各种(变分)Lipschitz稳定性的定义:定义1.1 称方程(1.1)的零解是Lipschitz一致稳定的,如果存在常数M>0,δ>0,使     

李雅普诺夫第二方法在二阶线性偏微分方程中的应用

本文将常微分方程稳定性理论中的Lyapunov第二方法应用到偏微分方程中去,着重讨论了二阶线性偏微分方程混合问题解的唯一性与稳定性;得到了三个唯一性与稳定性的定理;并通过实例说明定理的应用, 由于Lyapunov泛函比传统方法中的“能量函数”广泛得多,因而用选取适当的泛函V证明混合问题解的唯一性与稳定性要比文[1][2]中的证明简单而且广泛.     

一类中立型非线性微分差分方程的稳定性

<正> 本文应用函数法考虑中立型非线性微分差分方程(dx)/(dt)=[t,x(t),x(t-Δ(t)),x′(t-Δ(t))] (*)的稳定性问题。李森林在文中通过建立上述方程(*)的||x(t)||和||x′(t)||之间在一定条件下满足的一个关系,首次将函数法直接应用于非线性中立型微分差分方程,建立了判定稳定性的某些比较具体的充分条件(不要求(dv)/(dt)≤0对所有t≤t_0成立)。本文借助于文所建立的这个关系,利用常微分方程的比较原理,得到了关于方程(*)的隐定性的一个形式较为一般的充分条件(与文[1]之有关结果互不包含),它实际上是文[2]的方法对中立型微分差分方程的推广。此外,本文还利用“向量函数法”减弱了上述结果中对函数V 的要求,建立了相应的推广定理。本文写作过程中曾得到湖南大学李森林教授的热忱指导,在此作者谨向他致以衷心的感谢。     

A~(p.q.α)空间的乘子

在(1)的基础上,我们得到如下结果: 定理1 已知1≤s,t≤∞。 (1)若1≤P<∞,2≤q≤∞,则 (A~(P·q·α),l(s,t))={{λ}:{(n 1)(a 1)/rλ}∈l(N,V)},其中1/u=1/s-1/2若s<2,u=∞若2≤s,1/V=1/t-1/P若t相似文献   

一类二阶常微分方程组多点边值问题多个正解的存在性

利用不动点定理,并赋予f,g一定的增长条件,讨论了一类二阶常微分方程组u″(t)+f(t,v(t))=0,0≤t≤1;v″(t)+g(t,u(t))=0,0≤t≤1;u′(0)=∑i=1 m-2 biu′(ξi),u(1)=∑i=1 k aiu(ξi)-∑i=k+1 m-2 aiu(ξi),v′(0)=∑i=1 m-2 diu′(ηi),v(1)=∑i=1 l civ(ηi)-∑i=l+1 m-2 civ(ηi),多个正解的存在性,其中f,g∈C([0,1]×[0,∞),[0,∞)).     

一类二阶中立型方程的振动准则

考虑中立型时滞微分方程d~2/dt~2[y(t)+P(t)y(t-τ)]+Q(t)y(t-σ)=0,t≥t_0 (1)其中P,Q∈C([t_0,+∞),R),,τ和σ是非负实数.我们证明了下列定理: 定理1 设0≤P(t)≤1,Q(t)≥0,且∫_(t_0)~(+∞)Q(s)[1-P(s-σ)]ds=+∞则方程(1)的一切解振动. 定理2 设P(t)≡P≥0,∫_(t_0)~(+∞)Q(s)ds=+∞,则方程(1)的一切可微解的导数振动.     

关于积分中值定理的一个注记

本文给出并论证了积分中值定理中的ξ,当 b→a~+时,将趋于(a,b)的中点,即·第一,二积分中值定理中的ξ分别有积分中值定理若函数 f(x)在区间[a,b]上连续,则在[a,b]上至少存在一点ξ,使得     

关于严平稳过程的上穿过与最大值的几点注记

设ξ(t)(t≥0)是一严平稳过程,具有连续的样本函数,且ξ(t)的分布函数是连续的.令N_u(T)记对于水平u>0,在(0,T)内ξ(t)上穿过的数目.本文讨论E(N_u(T))的公式以及(?)P(M(T)≤u_n_T(x)),其中M(T)=sup{ξ(t)|0≤t≤T},而u_n_T(x)是单增函数.     

一类时滞积分微分方程的稳定性分析

讨论了一类具有离散时滞和无穷分布时滞的微分积分方程.利用分析技巧和M-矩阵的性质,建立一个时滞微分积分不等式.在此基础上,获得时滞微分积分方程零解全局指数稳定的一个充分条件.最后,对方程的一些数学模型进行应用,获得新结果.假设V(t)∈C[R,Rn+]满足下列微积分不等式D+ V(t)=PV(t)+RV[V(t)]τ+∫+∞ 0Q(s)V(t-s)ds,t≥t0,这里P=(Pij)n×n,Pij≥0(i≠j),R=(rij)n×n,rij≥0,Q(s)=(qij(s))n×n,qij(s)∈C[R+,R+],∫+∞ 0qij(s)ds＜+∞,i,j=1,2,…,n.如果存在一个正向量z＞0使得-(P+R+∫+∞ 0Q(s)ds)z＜0,那么当V(s)≤z,-∞＜s≤t0时,有V(t)≤z,t≥t0,从而推广和改进了一些相关结论.     

应用拉格朗日中值定理证函数不等式

如果函数y=f(x),在[a,b] 内连续,在区间(a,b)内可微,则有 f(b)-f(a)/b-a=f′(ξ) 其中ξ∈(a,b),b>a这时设y=f′(ξ)是[a,b]上的有界函数,则有如下结论:(1)若f′(ξ)≥m f(b)-f(a)≥(b-a)m(2)若f′(ξ)≤m f(b)-f(a)≤(b-a)m(3)若n≤f(ξ)≤m n(b-a)≤f(b)-f(a)≤m(b-a)     

lp空间中级数泛函的广义梯度

文[1]中,F.H.Clarke在非负完备测度空间(T,∑,μ)中,给出了LP(T,∑,μ)(1≤P＜∞)中积分泛函广义梯度满足,的条件,本文将文[1]中的条件(A),(B)改为(A※),(B※),从而将LP空间中积分泛函的广义梯度推广到lP空间中级数泛函的广义梯度。     

中立型泛函微分方程的C_1_稳定性

本文首次使用Razumikhin-温立志型V泛函[3]把文[4](推广[3]对RFDE)中的定理修改为判定方程(1)零解C~1-稳定性,改进了文[1],[2]的结果.     

关于两类Bellman-Bihari型积分不等式

含双重非线性泛函项的积分不等式和含累次积分泛函项的积分不等式近十几年来受到注意,并被用于讨论非线性微分方程,Voltorra积分方程和积分微分方程解的性态(有界性、唯一性、稳定性及其它渐近性态)。本文在[[1的基础上进一步讨论了这类不等式,推广了[1—4]的结论     

一类二阶非线性微分方程的解的渐近性

利用Schauder不动点定理,研究二阶非线性微分方程u″=f(t,u,u)′,t≥1解(f∈C[[1,∞)×R×R,R])的渐近性,给出方程解渐近于直线at+b(a,b∈R)的一个充分条件.从而推广文献[2]定理1的结果,简化文献[3]中定理4成立的条件.     

一类测度链上二阶三点边值问题对称解的存在性

本文研究了一类测度链上二阶三点微分方程边值问题xΔΔ(t)+f(t,x(t))=0,t∈(0,1)∩T,x(0)=x(1),xΔ(0)-xΔ(1)=αx(ξ),这里,f:[0,1]×[0,∞)→[0,∞)是一连续函数,满足对称性条件f(t,x)=f(1-t,x),0,1,ξ∈T,0ξ1,α1/(ξ-ξ2)。借助不动点指数性质的应用获得了3个对称正解的存在性。